Μοντε Carlo Προσομοίωση Με GBM

προσομοίωση Monte Carlo Με GBM

Ένας από τους συνηθέστερους τρόπους εκτίμησης του κινδύνου είναι η χρήση προσομοίωσης Monte Carlo (MCS). Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε την αξία σε κίνδυνο (VaR) ενός χαρτοφυλακίου, μπορούμε να εκτελέσουμε μια προσομοίωση του Monte Carlo που επιχειρεί να προβλέψει τη χειρότερη πιθανή ζημιά για ένα χαρτοφυλάκιο, δεδομένου ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για έναν συγκεκριμένο χρονικό ορίζοντα - συνθήκες VaR: εμπιστοσύνη και ορίζοντας. (Για σχετική ανάγνωση, βλέπε Οι χρήσεις και τα όρια της αστάθειας και Εισαγωγή στην αξία σε κίνδυνο (VAR) - Μέρος 1 και Μέρος 2 <

Σε αυτό το άρθρο, θα αναθεωρήσουμε ένα βασικό MCS που εφαρμόζεται σε τιμή μετοχής. Χρειαζόμαστε ένα μοντέλο για να καθορίσουμε τη συμπεριφορά της τιμής των μετοχών και θα χρησιμοποιήσουμε ένα από τα πιο κοινά μοντέλα χρηματοδότησης: γεωμετρική κίνηση Brownian (GBM). Επομένως, ενώ η προσομοίωση του Monte Carlo μπορεί να αναφέρεται σε ένα σύμπαν διαφορετικών προσεγγίσεων προσομοίωσης, θα ξεκινήσουμε εδώ με τις πιο βασικές.

Πού να ξεκινήσετε

Μια προσομοίωση Monte Carlo είναι μια προσπάθεια να προβλέψουμε το μέλλον πολλές φορές. Στο τέλος της προσομοίωσης, χιλιάδες ή εκατομμύρια "τυχαίων δοκιμών" παράγουν μια κατανομή των αποτελεσμάτων που μπορούν να αναλυθούν. Τα βασικά βήματα είναι:

1. Καθορίστε ένα μοντέλο (π.χ. γεωμετρική κίνηση Brownian)

2. Δημιουργία τυχαίων δοκιμών

3. Επεξεργαστείτε την έξοδο
1. Καθορίστε ένα μοντέλο
(π.χ. GBM)

Σε αυτό το άρθρο, θα χρησιμοποιήσουμε τη γεωμετρική κίνηση Brownian (GBM), η οποία είναι τεχνικά μια διαδικασία Markov. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή των μετοχών ακολουθεί μια τυχαία πορεία και είναι σύμφωνη με (τουλάχιστον) την αδύναμη μορφή της αποτελεσματικής αγοράς (EMH): οι προηγούμενες πληροφορίες για τις τιμές έχουν ήδη ενσωματωθεί και η επόμενη κίνηση των τιμών είναι "υπό όρους ανεξάρτητη" κινήσεις τιμών. (Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το EMH, διαβάστε το Εργασία μέσω της αποτελεσματικής υποθετικής αγοράς
και Τι είναι η αποτελεσματικότητα της αγοράς; )

Ο τύπος για GBM βρίσκεται παρακάτω, όπου "S" είναι η τιμή της μετοχής, "m" είναι η αναμενόμενη απόδοση, "s" είναι η τυπική απόκλιση των επιστροφών, το "t" είναι ο χρόνος και το "e" είναι η τυχαία μεταβλητή:

Εάν ανακατατάξουμε τον τύπο για να λύσουμε μόνο τη μεταβολή της τιμής των μετοχών, βλέπουμε ότι η GMB λέει τη μεταβολή της τιμής των μετοχών είναι η τιμή μετοχής "S" πολλαπλασιασμένη με τους δύο όρους που βρίσκονται μέσα στην παρένθεση παρακάτω:

Ο πρώτος όρος είναι "παρασυρόμενος" και ο δεύτερος όρος είναι "σοκ". Για κάθε χρονική περίοδο, το μοντέλο μας υποθέτει ότι η τιμή θα "παρασυρθεί" από την αναμενόμενη απόδοση. Αλλά η κίνηση θα συγκλονιστεί (προστεθεί ή αφαιρεθεί) από ένα τυχαίο σοκ. Το τυχαίο σοκ θα είναι η τυπική απόκλιση "s" πολλαπλασιασμένη με τυχαίο αριθμό "e". Αυτός είναι απλά ένας τρόπος κλιμάκωσης της τυπικής απόκλισης.

Αυτή είναι η ουσία του GBM, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 1. Η τιμή της μετοχής ακολουθεί μια σειρά βημάτων, όπου κάθε βήμα είναι μια μετατόπιση συν / πλην τυχαίου σοκ (η ίδια συνάρτηση της τυπικής απόκλισης του αποθέματος): > Σχήμα 1

2.Δημιουργία τυχαίων δοκιμών

Εξοπλισμένο με προδιαγραφές μοντέλου, προχωρούμε στη συνέχεια για τη διεξαγωγή τυχαίων δοκιμών. Για να το δείξουμε, χρησιμοποιήσαμε το Microsoft Excel για να τρέξουμε 40 δοκιμές. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι ένα μη ρεαλιστικό δείγμα. οι περισσότερες προσομοιώσεις ή "sims" τρέχουν τουλάχιστον αρκετές χιλιάδες δοκιμές.

Στην περίπτωση αυτή, ας υποθέσουμε ότι το απόθεμα ξεκινά την ημέρα μηδέν με τιμή $ 10. Εδώ είναι ένα γράφημα του αποτελέσματος όπου κάθε βήμα (ή διάστημα) είναι μία ημέρα και η σειρά εκτελείται για δέκα ημέρες (συνοπτικά: σαράντα δοκιμές με ημερήσια βήματα μέσα σε δέκα ημέρες):

Εικόνα 2: Γεωμετρική κίνηση Brownian > Το αποτέλεσμα είναι σαράντα προσομοιωμένες τιμές μετοχών στο τέλος των 10 ημερών. Κανείς δεν έχει συμβεί να πέσει κάτω από $ 9, και ένα είναι πάνω από $ 11. 3. Επεξεργασία της εξόδου

Η προσομοίωση παρήγαγε μια κατανομή υποθετικών μελλοντικών αποτελεσμάτων. Θα μπορούσαμε να κάνουμε πολλά πράγματα με την έξοδο. Εάν, για παράδειγμα, θέλουμε να υπολογίσουμε το VaR με εμπιστοσύνη 95%, τότε πρέπει μόνο να εντοπίσουμε το αποτέλεσμα που έχει ταξινομηθεί σε τριάντα όγδοο (το τρίτο χειρότερο αποτέλεσμα). Αυτό συμβαίνει επειδή το 2/40 ισούται με 5%, επομένως τα δύο χειρότερα αποτελέσματα είναι στο χαμηλότερο 5%.

Αν στοιβάζουμε τα απεικονιζόμενα αποτελέσματα σε κάδους (κάθε κάδος είναι το ένα τρίτο του $ 1, έτσι ώστε οι τρεις κάδοι καλύπτουν το διάστημα από $ 9 έως $ 10), θα έχουμε το ακόλουθο ιστόγραμμα:

Εικόνα 3

ότι το μοντέλο GBM μας υποθέτει κανονικότητα: οι αποδόσεις των τιμών κανονικά κατανέμονται με την αναμενόμενη απόδοση (μέση τιμή) "m" και την τυπική απόκλιση "s". Είναι ενδιαφέρον ότι το ιστόγραμμά μας δεν φαίνεται φυσιολογικό. Στην πραγματικότητα, με περισσότερες δοκιμές, δεν θα τείνει προς την κανονικότητα. Αντ 'αυτού, θα τείνει προς μια φυσιολογική κατανομή: μια απότομη πτώση προς τα αριστερά της μέσης και μια εξαιρετικά λοξή "μακριά ουρά" στα δεξιά της μέσης. Αυτό οδηγεί συχνά σε μια δυνητικά σύγχυση δυναμική για τους φοιτητές για πρώτη φορά: Οι τιμές

επιστρέφουν

διανέμονται κανονικά.

Τα επίπεδα

  • των τιμών καταγράφονται κανονικά. Σκεφτείτε με αυτό τον τρόπο: Ένα απόθεμα μπορεί να επιστρέψει πάνω ή κάτω 5% ή 10%, αλλά μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, η τιμή των μετοχών δεν μπορεί να είναι αρνητική. Επιπλέον, οι αυξήσεις των τιμών στην ανοδική πορεία έχουν συμβιβαστική επίδραση, ενώ οι μειώσεις των τιμών μειώνουν τη βάση: χάνουν το 10% και μένουν με λιγότερες απώλειες την επόμενη φορά. Εδώ είναι ένα διάγραμμα της φυσιολογικής κατανομής που υπερκαλύπτεται στις εικονογραφημένες παραδοχές μας (π.χ. τιμή εκκίνησης $ 10):
  • Σχήμα 4 Περίληψη Μια προσομοίωση Monte Carlo εφαρμόζει ένα επιλεγμένο μοντέλο (ένα μοντέλο που καθορίζει τη συμπεριφορά ενός εργαλείο) σε ένα μεγάλο σύνολο τυχαίων δοκιμών σε μια προσπάθεια να παραχθεί μια πιθανή σειρά πιθανών μελλοντικών αποτελεσμάτων. Όσον αφορά την προσομοίωση των τιμών των μετοχών, το πιο κοινό μοντέλο είναι η γεωμετρική κίνηση Brownian (GBM). Η GBM υποθέτει ότι μια συνεχής παρασυρόμενη κίνηση συνοδεύεται από τυχαία κλυδωνισμούς. Ενώ η περίοδος επιστροφής υπό GBM κατανέμεται κανονικά, τα διαδοχικά επίπεδα τιμών πολλαπλών περιόδων (για παράδειγμα δέκα ημέρες) κατανέμονται φυσιολογικά.

Δείτε το φροντιστήριο ταινιών του David Harper,

προσομοίωση Monte Carlo με γεωμετρική κίνηση Brownian

, για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτό το θέμα.