• από την άποψη ενός αγοραστή δικαιωμάτων προαίρεσης. Στην κόκκινη περιοχή, τόσο ο αγοραστής όσο και ο πωλητής έχουν δίκαιη αποτίμηση (μηδενική τιμή για τον πωλητή, μηδενική πληρωμή προς τον αγοραστή). Ωστόσο, η πρόκληση αποτίμησης ξεκινάει με την μπλε περιοχή, καθώς ο αγοραστής έχει το πλεονέκτημα μιας θετικής απόδοσης, ενώ ο πωλητής υφίσταται ζημία (με την προϋπόθεση ότι η υποκείμενη τιμή υπερβαίνει την τιμή άσκησης). Αυτό είναι όπου ο αγοραστής έχει ένα πλεονέκτημα έναντι του πωλητή με μηδενική τιμή. Η τιμολόγηση πρέπει να είναι μηδενική για να αποζημιώσει τον πωλητή για τον κίνδυνο που αναλαμβάνει.
• Στην πρώτη περίπτωση (κόκκινη γραφική παράσταση) θεωρητικά, ο πωλητής λαμβάνει μηδενική τιμή και υπάρχει πιθανότητα μηδενικού κέρδους για τον αγοραστή (δίκαιη και για τις δύο). Στην τελευταία περίπτωση (μπλε γράφημα), η διαφορά μεταξύ του υποκείμενου στοιχείου και της απεργίας πληρώνεται από τον πωλητή στον αγοραστή. Ο κίνδυνος του πωλητή καλύπτει όλη τη διάρκεια του έτους. Για παράδειγμα, η υποκείμενη τιμή των μετοχών μπορεί να κινηθεί πολύ υψηλή (πχ. Σε $ 200 σε τέσσερις μήνες) και ο πωλητής υποχρεούται να πληρώσει στον αγοραστή το διαφορικό των 45 δολαρίων.

Έτσι, βράζει κάτω από:

Η τιμή του υποκείμενου θα διασχίσει την τιμή απεργίας;

Αν ναι, πόσο ψηλά μπορεί να φτάσει η υποκείμενη τιμή (όπως θα καθορίσει την πληρωμή στον αγοραστή);

1. Αυτό υποδεικνύει το μεγάλο ρίσκο που έχει ο πωλητής, το οποίο οδηγεί στην ερώτηση - γιατί θα μπορούσε κάποιος να πουλήσει μια τέτοια κλήση, αν δεν πάρει τίποτα για τον κίνδυνο που παίρνει;
2. Στόχος μας είναι να φτάσουμε σε μια ενιαία τιμή που ο πωλητής πρέπει να χρεώσει τον αγοραστή, ο οποίος μπορεί να τον αποζημιώσει για τον συνολικό κίνδυνο που αναλαμβάνει για ένα χρόνο - τόσο στην μηδενική περιοχή πληρωμής (κόκκινη) όσο και στην γραμμική πληρωμή περιοχή (μπλε). Η τιμή πρέπει να είναι δίκαιη και αποδεκτή τόσο από τον αγοραστή όσο και από τον πωλητή. Εάν όχι, τότε αυτός που βρίσκεται σε μειονεκτική θέση όσον αφορά την πληρωμή ή τη λήψη αθέμιτων τιμών δεν θα συμμετάσχει στην αγορά, αποτρέποντας έτσι τον σκοπό της εμπορικής δραστηριότητας. Το πρότυπο Black-Scholes στοχεύει να καθορίσει αυτή τη δίκαιη τιμή εξετάζοντας τη διακύμανση της σταθερής τιμής του αποθέματος, την αξία του χρήματος κατά την ώρα, την τιμή προειδοποίησης της επιλογής και τον χρόνο μέχρι τη λήξη της επιλογής.Παρόμοια με το πρότυπο BS, ας δούμε πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε την αξιολόγηση αυτού του παραδείγματος χρησιμοποιώντας τις δικές μας μεθόδους.

Πώς να αξιολογήσετε την εσωτερική αξία στην περιοχή της μπλε;

Δύο μέθοδοι είναι διαθέσιμες για την πρόβλεψη της αναμενόμενης μεταβολής των τιμών στο μέλλον κατά τη διάρκεια ενός δεδομένου χρονικού πλαισίου:

Μπορούμε να αναλύσουμε παρόμοιες κινήσεις τιμών της ίδιας διάρκειας στο πρόσφατο παρελθόν. Η ιστορική τιμή κλεισίματος της IBM δείχνει ότι το τελευταίο έτος (από τις 2 Ιανουαρίου 2014 έως τις 31 Δεκεμβρίου 2014), η τιμή μειώθηκε στα $ 160. 44 από $ 185. 53, μείωση κατά 13,5%. Μπορούμε να ολοκληρώσουμε ένα -13. 5% κίνηση της τιμής για την IBM;

Ένας περαιτέρω λεπτομερής έλεγχος δείχνει ότι άγγιξε ένα ετήσιο υψηλό των $ 199. 21 (στις 10 Απριλίου 2014) και ένα ετήσιο χαμηλό των $ 150. 5 (στις 16 Δεκεμβρίου 2014). Βάση αυτών κατά την ημέρα έναρξης, 2 Ιανουαρίου 2014, και την τιμή κλεισίματος των $ 185. 53, η ποσοστιαία μεταβολή κυμαίνεται από +7. 37% έως -18. 88%. Τώρα, το εύρος διακύμανσης φαίνεται πολύ μεγαλύτερο σε σύγκριση με την προηγούμενη υποτιθέμενη πτώση του 13,5%.

• Παρόμοιες αναλύσεις και παρατηρήσεις σε ιστορικά δεδομένα μπορούν να συνεχιστούν. Για να συνεχίσουμε την εξέλιξη του μοντέλου τιμολόγησης, ας υποθέσουμε αυτή την απλή μεθοδολογία για να μετρήσουμε τις μελλοντικές διακυμάνσεις των τιμών.
• Υποθέστε ότι η IBM αυξάνεται κατά 10% κάθε χρόνο (βάσει των ιστορικών δεδομένων των τελευταίων 20 ετών). Τα βασικά στατιστικά στοιχεία δείχνουν ότι η πιθανότητα αλλαγής της τιμής των μετοχών της IBM να κυμαίνεται γύρω στο + 10% θα είναι πολύ υψηλότερη από την πιθανότητα να αυξηθεί η τιμή της IBM κατά 20% ή να μειωθεί κατά 30%, υποθέτοντας ότι τα ιστορικά μοντέλα επαναλαμβάνονται. Η συλλογή παρόμοιων ιστορικών δεδομένων με τις τιμές πιθανοτήτων, μια συνολική αναμενόμενη απόδοση της τιμής της μετοχής της IBM σε ένα χρονικό διάστημα ενός έτους μπορεί να υπολογιστεί ως σταθμισμένος μέσος όρος πιθανοτήτων και σχετικών αποδόσεων. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι τα ιστορικά δεδομένα τιμών της IBM δείχνουν τις ακόλουθες κινήσεις:

(- 10%) είκοσι πέντε τοις εκατό φορές,

+ 10% τριάντα πέντε τοις εκατό φορές,

• + 15%
• + 20% δέκα τοις εκατό φορές,
• + 25% πέντε τοις εκατό φορές, και
• (- 15%) πέντε τοις εκατό φορές.
• Ως εκ τούτου, ο σταθμισμένος μέσος όρος (ή η αναμενόμενη τιμή) φτάνει σε:
• (- 10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * % - 15% * 5%) / 100% =

6. 5%
i. μι. κατά μέσο όρο, η τιμή του αποθέματος της IBM αναμένεται να επιστρέψει +6. 5% σε ένα χρόνο για κάθε δολάριο. Αν κάποιος αγοράσει το απόθεμα της IBM με ορίζοντα ενός έτους και τιμή αγοράς $ 155, μπορεί κανείς να αναμένει καθαρή απόδοση 155 * 6. 5% = 10 $. 075. Ωστόσο, πρόκειται για την επιστροφή του αποθέματος. Πρέπει να αναζητήσουμε παρόμοιες αναμενόμενες αποδόσεις για την επιλογή κλήσης.
Βάσει της μηδενικής αποπληρωμής της κλήσης κάτω από την τιμή προειδοποίησης (υφιστάμενη κλήση των $ 155 - ATM), όλες οι αρνητικές κινήσεις θα δημιουργούν μηδενικές αποδοχές, ενώ όλες οι θετικές κινήσεις πάνω από την τιμή προειδοποίησης θα παράγουν ισοδύναμη αποπληρωμή. Η αναμενόμενη απόδοση για την επιλογή αγοράς θα είναι:

(

-0%

* 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 0 % * 5%) / 100% = 9. 75% i. μι. για κάθε $ 100 που επενδύεται στην αγορά αυτής της επιλογής, μπορεί κανείς να περιμένει $ 9. 75 (με βάση τις παραπάνω παραδοχές). Ωστόσο, αυτό εξακολουθεί να περιορίζεται στην εύλογη αποτίμηση της εγγενούς αξίας της προαίρεσης και δεν καταγράφει σωστά τον κίνδυνο που βαρύνει τον πωλητή δικαιωμάτων προαίρεσης για τις μεγάλες διακυμάνσεις που μπορεί να συμβούν ενδιάμεσα (στην περίπτωση των προαναφερθέντων εντός του έτους υψηλές και χαμηλές τιμές).Εκτός από την εγγενή αξία, ποια τιμή μπορεί να συμφωνηθεί από τον αγοραστή και τον πωλητή, έτσι ώστε ο πωλητής να αποζημιωθεί αρκετά για τον κίνδυνο που αναλαμβάνει το χρονικό διάστημα ενός έτους;

Αυτές οι εναλλαγές μπορεί να ποικίλουν ευρέως και ο πωλητής μπορεί να έχει τη δική του ερμηνεία για το πόσο θέλει να του αποζημιωθεί. Το μοντέλο Black-Scholes υιοθετεί επιλογές ευρωπαϊκού τύπου, δηλ. μι. καμία άσκηση πριν από την ημερομηνία λήξης. Συνεπώς, παραμένει ανεπηρέαστη από τις ενδιάμεσες διακυμάνσεις των τιμών και βασίζει την αποτίμησή της στις ημέρες διαπραγμάτευσης από τέλος έως τέλος.

Σε συναλλαγές πραγματικών ημερών, αυτή η αστάθεια διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στον καθορισμό των τιμών των δικαιωμάτων προαίρεσης. Η μπλε λειτουργία πληρωμής που βλέπουμε συνήθως είναι στην πραγματικότητα η πληρωμή κατά την ημερομηνία λήξης. Ρεαλιστικά, η τιμή επιλογής (ροζ γράφημα) είναι πάντα υψηλότερη από την πληρωμή (μπλε γράφημα), αναφέροντας την τιμή που έλαβε ο πωλητής για να αντισταθμίσει τις ικανότητες λήψης κινδύνου. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η τιμή δικαιωμάτων προαίρεσης είναι επίσης γνωστή ως η επιλογή "premium" - που ουσιαστικά υποδηλώνει το ασφάλιστρο κινδύνου.

Αυτό μπορεί να συμπεριληφθεί στο μοντέλο αποτίμησης μας, ανάλογα με την αναμενόμενη μεταβλητότητα στην τιμή των μετοχών και την αναμενόμενη αξία που θα αποφέρει.

Το μοντέλο Black-Scholes το κάνει αποτελεσματικά (φυσικά, με τις δικές του υποθέσεις) ως ακολούθως:

Το μοντέλο BS υποθέτει φυσιολογική κατανομή των κινήσεων των τιμών μετοχών, γεγονός που δικαιολογεί τη χρήση Ν (d1) και Ν ).

Στο πρώτο μέρος, το S υποδεικνύει την τρέχουσα τιμή του αποθέματος.

N (d1) υποδεικνύει την πιθανότητα της τρέχουσας μεταβολής των τιμών του αποθέματος.

Αν αυτή η επιλογή πηγαίνει σε χρήματα επιτρέποντας στον αγοραστή να ασκήσει αυτή την επιλογή, θα πάρει μία μετοχή από την υποκείμενη μετοχή της IBM. Εάν ο έμπορος την ασκεί σήμερα, τότε το S * N (d1) αντιπροσωπεύει την τρέχουσα αναμενόμενη αξία της επιλογής.
Στο δεύτερο μέρος, το Χ υποδεικνύει την τιμή απεργίας.

N (d2) αντιπροσωπεύει την πιθανότητα η τιμή της μετοχής να είναι μεγαλύτερη από την τιμή προειδοποίησης.

Έτσι X * N (d2) αντιπροσωπεύει την αναμενόμενη τιμή της τιμής της μετοχής που απομένει

άνω των
της τιμής προειδοποίησης. Καθώς το μοντέλο Black-Scholes υιοθετεί επιλογές ευρωπαϊκού στυλ όπου η άσκηση είναι δυνατή μόνο στο τέλος, η αναμενόμενη τιμή που αναπαρίσταται παραπάνω από το Χ * Ν (d2) θα πρέπει να προεξοφλείται για την χρονική αξία του χρήματος. Ως εκ τούτου, το τελευταίο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον εκθετικό όρο που αυξάνεται στο επιτόκιο κατά τη χρονική περίοδο. Η καθαρή διαφορά των δύο όρων υποδηλώνει την τιμή τιμής της επιλογής από σήμερα (όπου ο δεύτερος όρος είναι προεξοφλημένος)

Στο πλαίσιο μας, τέτοιες κινήσεις τιμών μπορούν να συμπεριληφθούν με μεγαλύτερη ακρίβεια με πολλούς τρόπους:

Περαιτέρω εξειδίκευση των υπολογισμών αναμενόμενης απόδοσης με επέκταση του εύρους στα λεπτότερα χρονικά διαστήματα ώστε να συμπεριληφθούν οι κινήσεις τιμών εντός και εκτός της ημέρας

Συμπερίληψη των σημερινών δεδομένων της αγοράς, καθώς αντικατοπτρίζει τη σημερινή δραστηριότητα (παρόμοια με την τεκμαρτή μεταβλητότητα)

• Αναμενόμενες αποδόσεις κατά την λήξη η οποία μπορεί να απορριφθεί μέχρι σήμερα για ρεαλιστικές αποτιμήσεις και να μειωθεί περαιτέρω από την σημερινή τιμή
• . Έτσι, βλέπουμε ότι δεν υπάρχει όριο στις παραδοχές, τις μεθοδολογίες και την προσαρμογή που πρέπει να επιλεγούν για ποσοτική ανάλυση.Ανάλογα με το προς διαπραγμάτευση περιουσιακό στοιχείο ή την επένδυση που πρέπει να ληφθεί υπόψη, μπορεί να γίνει επεξεργασία ενός αυτοτελούς μοντέλου. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η μεταβλητότητα των διακυμάνσεων των τιμών των διαφόρων κατηγοριών περιουσιακών στοιχείων ποικίλλει πολύ - οι μετοχές έχουν ασυμμετρία μεταβλητότητας, το forex έχει αστάθεια μεταβλητότητας - και οι χρήστες θα πρέπει να ενσωματώσουν τα ισχύοντα πρότυπα μεταβλητότητας στα μοντέλα τους. Οι παραδοχές και τα μειονεκτήματα αποτελούν αναπόσπαστο μέρος οποιουδήποτε μοντέλου και η γνώση των μοντέλων σε σενάρια συναλλαγών σε πραγματικό κόσμο μπορεί να αποφέρει καλύτερα αποτελέσματα. (

Η κατώτατη γραμμή

Με σύνθετα περιουσιακά στοιχεία που εισέρχονται στις αγορές ή ακόμα και απλά περιουσιακά στοιχεία βανίλιας που εισέρχονται σε σύνθετες μορφές συναλλαγών, ποσοτική μοντελοποίηση και η ανάλυση καθίσταται υποχρεωτική για την αποτίμηση. Δυστυχώς, κανένα μαθηματικό μοντέλο δεν έρχεται χωρίς μια σειρά μειονεκτημάτων και παραδοχών. Η καλύτερη προσέγγιση είναι να διατηρήσουμε τις παραδοχές στο ελάχιστο και να γνωρίζουμε τα σιωπηρά μειονεκτήματα, τα οποία μπορούν να βοηθήσουν στην εκπόνηση των γραμμών σχετικά με τη χρήση και την εφαρμογή των μοντέλων.