Είναι αρκετά δύσκολο να συμφωνήσουμε για την ακριβή τιμολόγηση οποιουδήποτε εμπορεύσιμου περιουσιακού στοιχείου, ακόμη και σήμερα. Γι 'αυτό οι τιμές των μετοχών συνεχώς αλλάζουν. Στην πραγματικότητα, η εταιρεία δεν αλλάζει σχεδόν την αποτίμηση της σε καθημερινή βάση, αλλά η τιμή της μετοχής και η αποτίμησή της αλλάζουν κάθε δευτερόλεπτο. Αυτό δείχνει το δύσκολο για την επίτευξη συναίνεσης σχετικά με την τρέχουσα τιμή για οποιοδήποτε εμπορεύσιμο περιουσιακό στοιχείο, το οποίο οδηγεί σε ευκαιρίες αρμπιτράζ. Ωστόσο, αυτές οι ευκαιρίες αρμπιτράζ είναι πραγματικά σύντομες.

Όλα βράζουν μέχρι σήμερα - τι είναι η σωστή τρέχουσα τιμή σήμερα για μια αναμενόμενη μελλοντική αποπληρωμή;

Σε μια ανταγωνιστική αγορά, για να αποφευχθούν ευκαιρίες αρμπιτράζ, τα περιουσιακά στοιχεία με ίδιες δομές πληρωμής πρέπει να έχουν την ίδια τιμή. Η αποτίμηση των επιλογών ήταν ένα δύσκολο έργο και παρατηρήθηκαν μεγάλες διακυμάνσεις στην τιμολόγηση που οδήγησαν σε ευκαιρίες αρμπιτράζ. Η Black-Scholes παραμένει ένα από τα πιο δημοφιλή μοντέλα που χρησιμοποιούνται για επιλογές τιμολόγησης, αλλά έχει τους δικούς της περιορισμούς. (Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε: Τιμές επιλογών ). Το μοντέλο τιμολόγησης διωνυμικής επιλογής είναι μια άλλη δημοφιλής μέθοδος που χρησιμοποιείται για τις επιλογές τιμολόγησης. Αυτό το άρθρο περιγράφει μερικά περιεκτικά παραδείγματα βήμα προς βήμα και εξηγεί την υποκείμενη έννοια του ουδέτερου κινδύνου στην εφαρμογή αυτού του μοντέλου. (Για σχετική ανάγνωση, δείτε: Διάλυση του δυαδικού μοντέλου για την τιμή μιας επιλογής ).

Το άρθρο αυτό προϋποθέτει εξοικείωση του χρήστη με επιλογές και σχετικές έννοιες και όρους.

Υποθέστε ότι υπάρχει μια επιλογή κλήσης σε ένα συγκεκριμένο απόθεμα της οποίας η τρέχουσα τιμή αγοράς είναι $ 100. Η επιλογή ΑΤΜ έχει τιμή απεργία $ 100 με χρόνο λήξης ενός έτους. Υπάρχουν δύο έμποροι, ο Peter και ο Paul, οι οποίοι και οι δύο συμφωνούν ότι η τιμή των μετοχών θα αυξηθεί στα $ 110 ή θα μειωθεί στα $ 90 σε ένα χρόνο. Και οι δύο συμφωνούν σχετικά με τα αναμενόμενα επίπεδα τιμών σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα ενός έτους, αλλά διαφωνούν σχετικά με την πιθανότητα της άνω κίνησης (και της κάτω κίνησης). Ο Πέτρος πιστεύει ότι η πιθανότητα τιμής μετοχής να φτάσει τα $ 110 είναι 60%, ενώ ο Paul πιστεύει ότι είναι 40%.

Με βάση τα παραπάνω, ποιος θα ήταν πρόθυμος να πληρώσει περισσότερες τιμές για την επιλογή αγοράς;

Πιθανώς Πέτρος, καθώς αναμένει μεγάλη πιθανότητα να προχωρήσει.

Ας δούμε τους υπολογισμούς για να το επιβεβαιώσουμε και να το καταλάβουμε. Τα δύο στοιχεία ενεργητικού στα οποία εξαρτάται η αποτίμηση είναι η επιλογή αγοράς και το υποκείμενο απόθεμα. Υπάρχει συμφωνία μεταξύ των συμμετεχόντων ότι η υποκείμενη τιμή των μετοχών μπορεί να μετακινηθεί από τα τρέχοντα $ 100 σε $ 110 ή $ 90 σε ένα χρόνο και δεν υπάρχουν άλλες κινήσεις τιμών.

Σε έναν κόσμο χωρίς arbitrage, αν πρέπει να δημιουργήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από αυτά τα δύο περιουσιακά στοιχεία (επιλογή αγοράς και υποκείμενο αποθεματικό) έτσι ώστε ανεξάρτητα από το πού πηγαίνει η υποκείμενη τιμή ($ 110 ή $ 90) παραμένει το ίδιο.Ας υποθέσουμε ότι αγοράζουμε 'd' μετοχές της υποκείμενης και μιας σύντομης επιλογής κλήσης για τη δημιουργία αυτού του χαρτοφυλακίου.

Αν η τιμή φτάσει στα $ 110, οι μετοχές μας θα είναι $ 110 * d και θα χάσουμε $ 10 για την πληρωμή σύντομων κλήσεων. Η καθαρή αξία του χαρτοφυλακίου μας θα είναι (110d - 10).

Εάν η τιμή μειωθεί στα $ 90, οι μετοχές μας θα είναι $ 90 * δ, και η επιλογή θα λήξει χωρίς αξία. Η καθαρή αξία του χαρτοφυλακίου μας θα είναι (90d).

Αν θέλουμε η αξία του χαρτοφυλακίου μας να παραμείνει αμετάβλητη, ανεξάρτητα από το πού πηγαίνει η υποκείμενη τιμή μετοχής, τότε η αξία του χαρτοφυλακίου μας θα πρέπει να παραμείνει η ίδια και στις δύο περιπτώσεις, i. μι. :

=> (110d-10) = 90d

=> d = 1

i. μι. εάν αγοράσουμε μισό μερίδιο (αν υποτεθεί ότι είναι δυνατές κλασματικές αγορές), θα καταφέρουμε να δημιουργήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο έτσι ώστε η αξία του να παραμένει ίδια και στις δύο πιθανές καταστάσεις μέσα στο δεδομένο χρονικό διάστημα ενός έτους. (σημείο 1)

Αυτή η τιμή χαρτοφυλακίου, που υποδεικνύεται από (90d) ή (110d -10) = 45, είναι ένα έτος κάτω από τη γραμμή. Για να υπολογίσει την παρούσα αξία του, μπορεί να προεξοφληθεί με το ποσοστό απόδοσης χωρίς κίνδυνο (υποθέτοντας 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 έτος) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Παρούσα αξία χαρτοφυλακίου

με τιμή αγοράς $ 100) και 1 σύντομη κλήση, θα πρέπει να είναι ίση με την τρέχουσα τιμή που υπολογίζεται παραπάνω i. μι.

=> 1/2 * 100 - 1 * τιμή κλήσης = 42. 85

=> Τιμή κλήσης = $ 7. 14 i. μι. την τιμή κλήσης από σήμερα.

Δεδομένου ότι αυτό βασίζεται στην παραπάνω υπόθεση ότι η αξία του χαρτοφυλακίου παραμένει η ίδια ανεξάρτητα από τον τρόπο που πηγαίνει η υποκείμενη τιμή (σημείο 1 ανωτέρω), η πιθανότητα μετακίνησης προς τα πάνω ή προς τα κάτω δεν παίζει κανένα ρόλο εδώ. Το χαρτοφυλάκιο παραμένει χωρίς κινδύνους, ανεξάρτητα από τις υποκείμενες κινήσεις τιμών.

Και στις δύο περιπτώσεις (αναμένεται να μετακινηθούν σε $ 110 και κάτω να μεταφερθούν σε $ 90), το χαρτοφυλάκιό μας είναι ουδέτερο σε σχέση με τον κίνδυνο και κερδίζει το ποσοστό άνευ κινδύνου απόδοσης.

Ως εκ τούτου τόσο οι έμποροι, ο Peter και ο Paul, θα είναι πρόθυμοι να πληρώσουν τα ίδια $ 7. 14 για αυτή την επιλογή κλήσης, ανεξάρτητα από τις διαφορετικές αντιλήψεις τους σχετικά με τις πιθανότητες ανόδου των κινήσεων (60% και 40%). Οι ατομικά αντιληπτές πιθανότητες τους δεν παίζουν κανένα ρόλο στην αποτίμηση των δικαιωμάτων προαίρεσης, όπως φαίνεται από το παραπάνω παράδειγμα.

Εάν υποθέσουμε ότι οι ατομικές πιθανότητες έχουν σημασία, τότε θα υπήρχαν ευκαιρίες arbitrage. Στον πραγματικό κόσμο, τέτοιες ευκαιρίες αρμπιτράζ υπάρχουν με μικρές διαφορές τιμών και εξαφανίζονται βραχυπρόθεσμα.

Αλλά πού είναι η πολύ προωθημένη μεταβλητότητα σε όλους αυτούς τους υπολογισμούς, ο οποίος είναι ένας σημαντικός (και πιο ευαίσθητος) παράγοντας που επηρεάζει την τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης;

Η μεταβλητότητα περιλαμβάνεται ήδη στη φύση του ορισμού του προβλήματος. Θυμηθείτε ότι υποθέτουμε δύο (και μόνο δύο - και ως εκ τούτου το όνομα "διωνυμικός") καταστάσεις των επιπέδων τιμών ($ 110 και $ 90). Η μεταβλητότητα είναι σιωπηρή στην υπόθεση αυτή και συνεπώς συμπεριλαμβάνεται αυτομάτως - 10% σε κάθε τρόπο (σε αυτό το παράδειγμα).

Ας κάνουμε έναν έλεγχο της λογικής για να δούμε αν η προσέγγισή μας είναι σωστή και συνεπής με την κοινώς χρησιμοποιούμενη τιμολόγηση Black-Scholes. (Δείτε: Το μοντέλο αποτίμησης επιλογών Black-Scholes ).

Εδώ είναι τα στιγμιότυπα οθόνης των αποτελεσμάτων των υπολογιστικών επιλογών (ευγενική προσφορά του OIC), τα οποία ταιριάζουν απόλυτα με την υπολογιζόμενη αξία μας.

Δυστυχώς, ο πραγματικός κόσμος δεν είναι τόσο απλός όσο "μόνο δύο κράτη". Υπάρχουν πολλά επίπεδα τιμών που μπορούν να επιτευχθούν από το απόθεμα μέχρι το χρόνο που λήγει.

Είναι δυνατόν να συμπεριλάβουμε όλα αυτά τα πολλαπλά επίπεδα στο δυαδικό πρότυπο τιμολόγησης που περιορίζεται σε δύο μόνο επίπεδα; Ναι, είναι πολύ δυνατό, και για να το καταλάβουμε, ας πάρουμε σε μερικά απλά μαθηματικά.

Μερικά ενδιάμεσα στάδια υπολογισμού παραβλέπονται για να το κρατήσουν συνοπτικά και επικεντρώνονται στα αποτελέσματα.

Για να προχωρήσουμε περαιτέρω, ας γενικεύσουμε αυτό το πρόβλημα και λύση:

«X» είναι η τρέχουσα τιμή αγοράς του αποθέματος και οι «X * u» και «X * d» είναι οι μελλοντικές τιμές για τις κινήσεις άνω και κάτω ' χρόνια μετά. Ο συντελεστής «u» θα είναι μεγαλύτερος του 1, καθώς δείχνει την κίνηση προς τα πάνω και το «d» θα βρίσκεται μεταξύ 0 και 1. Για το παραπάνω παράδειγμα, u = 1. 1 και d = 0. 9.

Οι πληρωμές των επιλογών κλήσης είναι «P _μέχρι » και «P _dn 'για κινήσεις άνω και κάτω, κατά τη λήξη.

Εάν χτίσουμε ένα χαρτοφυλάκιο μετοχών 's' που αγοράσαμε σήμερα και μια σύντομη επιλογή αγοράς, τότε μετά το χρόνο 't':

Αξία χαρτοφυλακίου σε περίπτωση μετακίνησης προς τα πάνω = s * X * _{Για μια παρόμοια εκτίμηση σε κάθε περίπτωση μετακίνησης τιμής}

=> s * X * u - P _επάνω

= s * X * d - P

dn _{=> s = (P} up _{)) = η αριθ. των μετοχών για αγορά χαρτοφυλακίου χωρίς κίνδυνο}

Η μελλοντική αξία του χαρτοφυλακίου στο τέλος των ετών «t» θα είναι _{Σε περίπτωση αύξησης κίνησης = s * X * u - P} μέχρι _(P up

- P

dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} up _{με ποσοστό απόδοσης χωρίς κίνδυνο:} Αυτό θα πρέπει να αντιστοιχεί με την κατοχή χαρτοφυλακίου μετοχών «s» σε τιμή X και βραχυπρόθεσμης αξίας κλήσης «c» i. μι. η σημερινή κατοχή (s * X - c) πρέπει να εξισωθεί με την παραπάνω. Η επίλυση για το c δίνει τελικά ως εξής: _{ΕΑΝ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ Η ΠΡΙΜΟΔΟΤΗΣΗ ΤΗΣ ΚΛΗΣΗΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΡΟΣΘΕΤΕΙ ΣΤΟ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΟ ΔΕΝ ΥΠΟΣΧΕΥΕΤΑΙ.} Ένας άλλος τρόπος για να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση είναι με την αναδιάταξη του ως εξής: _{Λαμβάνοντας το q ως}

τότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται

Η αναδιάταξη της εξίσωσης με όρους "q" προσφέρει μια νέα προοπτική.

Το "q" μπορεί τώρα να ερμηνευτεί ως η πιθανότητα της άνω κίνησης του υποκείμενου (ως "q" συσχετίζεται με P

πάνω

και το 1-q συσχετίζεται με P

). Συνολικά, η παραπάνω εξίσωση αντιπροσωπεύει την τρέχουσα τιμή επιλογής i. μι. την προεξοφλημένη αξία της πληρωμής της κατά τη λήξη της.

Πώς είναι διαφορετική αυτή η πιθανότητα "q" από την πιθανότητα μετακίνησης του υποκείμενου; _{Η τιμή της τιμής της μετοχής κατά το χρόνο t = q * X * u + (1-q) * X * d} Αντικαθιστώντας την τιμή q και αναδιατάσσοντας, . μι. σε αυτόν τον υποτιθέμενο κόσμο των δύο κρατών, η τιμή του μετοχικού κεφαλαίου αυξάνεται απλώς με ποσοστό αποδόσεων χωρίς κίνδυνο, i. μι. ακριβώς όπως ένα περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο και ως εκ τούτου παραμένει ανεξάρτητο από οποιονδήποτε κίνδυνο.Όλοι οι επενδυτές αδιαφορούν για τον κίνδυνο κάτω από αυτό το μοντέλο, και αυτό αποτελεί το μοντέλο ουδέτερου κινδύνου. _{Οι πιθανότητες "q" και "(1-q)" είναι γνωστές ως πιθανότητες ουδέτερου κινδύνου και η μέθοδος αποτίμησης είναι γνωστή ως μοντέλο αποτίμησης ουδέτερου κινδύνου.} Το παραπάνω παράδειγμα έχει μια σημαντική απαίτηση - η μελλοντική δομή πληρωμής απαιτείται με ακρίβεια (επίπεδο $ 110 και $ 90). Στην πραγματική ζωή, δεν είναι δυνατή αυτή η σαφήνεια σχετικά με τα επίπεδα τιμών βάσει βημάτων. μάλλον η τιμή κινείται τυχαία και μπορεί να εγκατασταθεί σε πολλαπλά επίπεδα.

Ας επεκτείνουμε περαιτέρω το παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι είναι δυνατά δύο επίπεδα τιμών. (T = 1) μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τις τελικές απολαβές στο δεύτερο βήμα (t = 1) 2), και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αυτήν την υπολογισμένη πρώτη βαθμίδα αποτίμησης (t = 1), η σημερινή αποτίμηση (t = 0) μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τους παραπάνω υπολογισμούς.

Για να αποκτήσετε τιμολόγηση επιλογών σε όχι. 2, χρησιμοποιούνται αποδόσεις στις 4 και 5. Για να κάνετε τιμολόγηση για όχι. 3, χρησιμοποιούνται αποδόσεις στις 5 και 6. Τέλος, οι υπολογιζόμενες αποδόσεις στις 2 και 3 χρησιμοποιούνται για την τιμολόγηση σε όχι. 1.

Σημειώστε ότι το παράδειγμά μας αναλαμβάνει τον ίδιο παράγοντα για την κίνηση προς τα πάνω (και προς τα κάτω) και στα δύο βήματα - u (και d) εφαρμόζονται με σύνθετο τρόπο.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα εργασίας με υπολογισμούς:

Υποθέστε μια επιλογή πώλησης με τιμή άσκησης $ 110 που διαπραγματεύεται σήμερα στα $ 100 και λήγει σε ένα χρόνο. Ο ετήσιος συντελεστής άνευ κινδύνου είναι 5%. Η τιμή αναμένεται να αυξηθεί κατά 20% και να μειωθεί κατά 15% κάθε έξι μήνες.

Ας δομήσουμε το πρόβλημα:

Εδώ, u = 1. 2 και d = 0. 85, Χ = 100, t = 0. 5

χρησιμοποιώντας την παραπάνω παράγωγη φόρμουλα

, παίρνουμε q = 0. 35802832

τιμή πώλησης στο σημείο 2,

Στην κατάσταση P

upup

* 1. 2 * 1. 2 = 144 $ οδηγώντας σε P

upup

= μηδέν

Στην κατάσταση P

updn

, το υποκείμενο θα είναι = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 που οδηγεί σε P _updn = $ 8 _{Στην κατάσταση} dndn

, το υποκείμενο θα είναι = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 που οδηγεί σε P _dndn = $ 37. 75 _ρ 2

= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0.380802832) * 8) = 5.8989.77 _{> = 0. 975309912 * (0,35802832 * 8 + (1-0,35802832) * 37,75) = 26. 42958924} Και ως εκ τούτου η τιμή πώλησης, p ₁ = 0. 975309912 * (0, 35802832 * 5. 008970741+ (1-0, 35802832) * 26. 42958924) =

$ 18. 29. _{Παρομοίως, τα διωνυμικά μοντέλα επιτρέπουν σε κάποιον να σπάσει ολόκληρη τη διάρκεια επιλογής για περαιτέρω βελτιωμένα πολλαπλά βήματα / επίπεδα. Χρησιμοποιώντας προγράμματα υπολογιστών ή υπολογιστικά φύλλα, μπορείτε να εργαστείτε προς τα πίσω ένα βήμα κάθε φορά, για να αποκτήσετε την τρέχουσα τιμή της επιθυμητής επιλογής.} Συμπεραίνουμε με ένα ακόμη παράδειγμα που περιλαμβάνει τρία βήματα για την εκτίμηση δυαδικών επιλογών:

Υποθέστε μια επιλογή πώλησης ευρωπαϊκού τύπου, έχοντας 9 μήνες έως τη λήξη της με τιμή άσκησης $ 12 και τρέχουσα υποκείμενη τιμή στα $ 10. Εκτιμήστε το ποσοστό άνευ κινδύνου 5% για όλες τις περιόδους. Υποθέστε κάθε 3 μήνες, η υποκείμενη τιμή μπορεί να μετακινηθεί 20% πάνω ή κάτω, δίνοντας μας u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 και 3 βημάτων διωνυμικό δέντρο. _{Τα κόκκινα αριθμητικά στοιχεία υποδηλώνουν τις υποκείμενες τιμές, ενώ τα μπλε χρώματα υποδεικνύουν την επιλογή αποπληρωμής.} Η πιθανότητα ουδετέρου κινδύνου q υπολογίζεται στο 0. 531446.

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω τιμή q και τις τιμές απόδοσης σε t = 9 μήνες, οι αντίστοιχες τιμές σε t = 6 μήνες υπολογίζονται ως: _{οι υπολογιζόμενες τιμές στο t = 6, οι τιμές σε t = 3 και στη συνέχεια στο t = 0 είναι:} δίνοντας την τρέχουσα τιμή πώλησης ως $ 2. 18, η οποία είναι πολύ κοντά σε εκείνη που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το μοντέλο Black-Scholes ($ 2 .3) Η κατώτατη γραμμή

Παρόλο που η χρήση προγραμμάτων ηλεκτρονικών υπολογιστών μπορεί να κάνει πολλούς από αυτούς τους εντατικούς υπολογισμούς εύκολο, η πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών παραμένει ένας σημαντικός περιορισμός των διωνυμικών μοντέλων για την τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης. Όσο πιο λεπτά είναι τα χρονικά διαστήματα, τόσο πιο δύσκολο γίνεται να προβλέψουμε με ακρίβεια τις αποδόσεις στο τέλος κάθε περιόδου. Ωστόσο, η ευελιξία ενσωμάτωσης των αλλαγών όπως αναμένεται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους είναι ένα πρόσθετο πλεονέκτημα, γεγονός που το καθιστά κατάλληλο για την τιμολόγηση των αμερικανικών επιλογών, συμπεριλαμβανομένων των πρώιμων εκτιμήσεων άσκησης. Οι τιμές που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας το διωνυμικό μοντέλο ταιριάζουν απόλυτα με εκείνες που υπολογίζονται από άλλα ευρέως χρησιμοποιούμενα μοντέλα όπως το Black-Scholes, το οποίο υποδηλώνει τη χρησιμότητα και την ακρίβεια των διωνυμικών μοντέλων για την τιμολόγηση των επιλογών. Τα μοντέλα διωνυμικής τιμολόγησης μπορούν να αναπτυχθούν σύμφωνα με τις προτιμήσεις ενός εμπόρου και λειτουργούν ως εναλλακτική λύση στην Black-Scholes.