Ο τόκος ορίζεται ως το κόστος δανεισμού χρημάτων και, ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζεται, μπορεί να ταξινομηθεί ως απλός τόκος ή σύνθετος τόκος.

Ο απλός τόκος υπολογίζεται επί του κεφαλαίου ή του αρχικού ποσού ενός δανείου. Οι σύνθετοι τόκοι υπολογίζονται επί του ποσού του κεφαλαίου και επίσης επί των συσσωρευμένων τόκων των προηγούμενων περιόδων και μπορούν επομένως να θεωρηθούν ως "τόκοι επί τόκων. "

AD:

Μπορεί να υπάρξει μεγάλη διαφορά στο ποσό των τόκων που πρέπει να πληρωθούν για ένα δάνειο εάν ο τόκος υπολογίζεται με βάση ένα σύνθετο και όχι απλό. Από τη θετική πλευρά, η μαγεία της σύνθεσης μπορεί να λειτουργήσει προς όφελός σας όταν πρόκειται για τις επενδύσεις σας και μπορεί να είναι ένας ισχυρός παράγοντας στη δημιουργία πλούτου.

Ενώ το απλό και σύνθετο ενδιαφέρον είναι βασικές χρηματοοικονομικές έννοιες, η εξοικείωσή τους με αυτούς θα σας βοηθήσει να λάβετε καλύτερες αποφάσεις όταν λαμβάνετε δάνειο ή πραγματοποιείτε επενδύσεις, οι οποίες μπορεί να σας εξοικονομήσουν χιλιάδες δολάρια μακροπρόθεσμα.

- <->

Βασικά πρακτικά παραδείγματα

Απλός τόκος

Ο τύπος υπολογισμού του απλού ενδιαφέροντος είναι:

Έτσι, αν χρεωθεί απλός τόκος στο 5% για ένα δάνειο $ 10, 000 που λήφθηκε για τριετή περίοδο, το συνολικό ποσό των τόκων που πρέπει να πληρώσει ο οφειλέτης υπολογίζεται ως: $ 10, 000 x 0. 05 x 3 = $ 1, 500.

AD:

Οι τόκοι για αυτό το δάνειο είναι πληρωτέοι σε $ 500 ετησίως, ή $ 1, 500 κατά τη διάρκεια του τριετούς δανείου.

Σύνθετο ενδιαφέρον

Ο τύπος για τον υπολογισμό των σύνθετων τόκων σε ένα έτος είναι:

Σύνθετο Τόκο = Συνολικό ποσό Αρχικού και Τόκου στο μέλλον (ή μελλοντική αξία) = P (1 + i)

n

] - P

= P [(1 + i) ⁿ ετήσιο επιτόκιο σε ποσοστιαία βάση και n = αριθμός περιόδων σύνθεσης για ένα έτος.

Συνεχίζοντας με το παραπάνω παράδειγμα, ποιο θα ήταν το ύψος του ενδιαφέροντος εάν χρεώνεται σε σύνθετη βάση; Στην περίπτωση αυτή, θα ήταν: $ 10, 000 [(1 + 0.05) ³ - 1] = $ 10, 000 [1. 157625 - 1] = $ 1, 576. 25.

Ενώ ο συνολικός τόκος που καταβάλλεται κατά την τριετή περίοδο αυτού του δανείου είναι $ 1, 576. 25, σε αντίθεση με τους απλούς τόκους, το επιτόκιο δεν είναι το ίδιο και για τα τρία χρόνια επειδή το σύνθετο επιτόκιο λαμβάνει επίσης υπόψη το συσσωρευμένο ενδιαφέρον προηγούμενων περιόδων. Οι τόκοι που καταβάλλονται στο τέλος κάθε έτους παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Περίοδοι Σύνθεσης ^{Κατά τον υπολογισμό του σύνθετου ενδιαφέροντος, ο αριθμός των περιόδων σύνθεσης κάνει μια σημαντική διαφορά. Γενικά, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των περιόδων σύνθεσης, τόσο μεγαλύτερη είναι η ποσότητα σύνθετου ενδιαφέροντος. Έτσι για κάθε δάνειο ύψους 100 δολαρίων για μια συγκεκριμένη περίοδο, το ποσό των τόκων που θα συγκεντρωθεί σε 10% ετησίως θα είναι χαμηλότερο από το επιτόκιο που έχει συσσωρευτεί στο 5% σε μηνιαία βάση, το οποίο με τη σειρά του θα είναι χαμηλότερο από το 2.5% ανά τρίμηνο.} Στον τύπο για τον υπολογισμό του σύνθετου ενδιαφέροντος, οι μεταβλητές «i» και «n» πρέπει να προσαρμόζονται εάν ο αριθμός των περιόδων σύνθεσης είναι περισσότερο από μία φορά το χρόνο.

Δηλαδή, μέσα στις παρενθέσεις, το "i" πρέπει να διαιρείται με "n", τον αριθμό περιόδων σύνθεσης ανά έτος. Εκτός από τις παρενθέσεις, το "n" πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το "t", το συνολικό μήκος της επένδυσης.

Επομένως, για ένα 10ετές δάνειο στο 10%, όπου οι τόκοι αναμειγνύονται σε ημιετή βάση (αριθμός περιόδων σύνθεσης = 2), i = 5% (δηλαδή 10% / 2) και n = 20 2).

Για να υπολογίσετε τη συνολική τιμή με τον σύνθετο τόκο, θα χρησιμοποιήσατε αυτήν την εξίσωση:

= [P (1 + i / n)

nt

/ n)

nt

- 1] ^{όπου P = Principal, i = ετήσιο επιτόκιο σε ποσοστιαίες μονάδες n = αριθμός περιόδων σύνθεσης ετησίως και t = συνολικός αριθμός ετών για την επένδυση ή δάνειο.} Ο παρακάτω πίνακας καταδεικνύει τη διαφορά ότι ο αριθμός των περιόδων σύνθεσης μπορεί να πραγματοποιηθεί με την πάροδο του χρόνου για ένα δάνειο $ 10, 000 που λαμβάνεται για περίοδο 10 ετών.

Συχνότητα σύνθεσης ^Όχι. Ετήσια

1

i / n = 10%, nt = 10

15, 937. 42	Ημερήσια	2	i / n = 5%, nt = 20
$ 16,532,98	40	$ 16, 850. 64	Μηνιαία
12	i / n = 0. 833%, nt = 120	$ 17, 059. 68	, εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες που σχετίζονται με την σύνθεση.
Χρονική αξία χρημάτων	Δεδομένου ότι τα χρήματα δεν είναι "δωρεάν" αλλά έχουν κόστος από πλευράς πληρωτέων τόκων, προκύπτει ότι ένα δολάριο σήμερα αξίζει περισσότερο από ένα δολάριο στο μέλλον. Αυτή η έννοια είναι γνωστή ως η χρονική αξία του χρήματος και αποτελεί τη βάση για σχετικά προηγμένες τεχνικές όπως η ανάλυση των προεξοφλημένων ταμειακών ροών (DCF). Το αντίθετο του compounding είναι γνωστό ως discounting. ο συντελεστής έκπτωσης μπορεί να θεωρηθεί ως ο αμοιβαίος του επιτοκίου και είναι ο παράγοντας με τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί μια μελλοντική τιμή για να πάρει την παρούσα αξία. (	Κατανόηση της χρονικής αξίας χρημάτων	.)
Οι τύποι για την απόκτηση της μελλοντικής τιμής (FV) και της παρούσας αξίας (PV) είναι οι εξής:	FV = PV + i / n)	nt	και PV = FV / (1 + i / n)

nt

= $ 10, 000 (1 + 0.05)

3 = $ 10.000 (1.157625) = $ 57.56. 25 έκπτωση σε 5% για τρία χρόνια:

= $ 11, 576. 25 / (1 + 0.05)

3 ^{= $ 11, 576. 25/1 1. 157625} 000 ^{Η αμοιβαιότητα του 1. 157625, που ισούται με το 0,8638376, είναι ο συντελεστής έκπτωσης στην περίπτωση αυτή.}

Ο κανόνας των 72

Ο κανόνας των 72 υπολογίζει τον κατά προσέγγιση χρόνο κατά τον οποίο μια επένδυση θα διπλασιαστεί με ένα δεδομένο ποσοστό απόδοσης ή τόκου «i» και δίνεται από το (72 / i). Μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για ετήσια ανάμειξη. ^{Για παράδειγμα, μια επένδυση με ετήσιο ποσοστό απόδοσης 6% θα διπλασιαστεί σε 12 χρόνια.}

Μια επένδυση με ετήσιο ποσοστό απόδοσης 8% θα διπλασιαστεί σε 9 χρόνια.

Σύνθετος ετήσιος ρυθμός ανάπτυξης (CAGR)

Ο σύνθετος ετήσιος ρυθμός ανάπτυξης (CAGR) χρησιμοποιείται για τις περισσότερες οικονομικές εφαρμογές που απαιτούν τον υπολογισμό ενός μοναδικού ρυθμού ανάπτυξης σε μια χρονική περίοδο.

Για παράδειγμα, εάν το επενδυτικό σας χαρτοφυλάκιο έχει αυξηθεί από $ 10, 000 σε $ 16, 000 σε διάστημα πέντε ετών, ποιο είναι το CAGR; Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι PV = - $ 10, 000, FV = $ 16, 000, nt = 5, οπότε πρέπει να υπολογιστεί η μεταβλητή "i". Χρησιμοποιώντας μια οικονομική αριθμομηχανή ή ένα υπολογιστικό φύλλο Excel, μπορεί να φανεί ότι i = 9. 86%. ^{(Σημειώστε ότι σύμφωνα με τη σύμβαση ταμειακών ροών, η αρχική σας επένδυση (PV) ύψους $ 10.000 εμφανίζεται με αρνητικό πρόσημο, καθώς αντιπροσωπεύει μια εκροή κεφαλαίων.Η PV και η FV πρέπει απαραίτητα να έχουν αντίθετα σήματα για να λύσουν το "i" στην παραπάνω εξίσωση).}

Εφαρμογές σε πραγματικό χρόνο

Ο σύνθετος ετήσιος ρυθμός ανάπτυξης (CAGR) χρησιμοποιείται ευρέως για τον υπολογισμό των αποδόσεων σε χρονικά διαστήματα για τα αποθέματα, τα αμοιβαία κεφάλαια και τα επενδυτικά χαρτοφυλάκια. Το CAGR χρησιμοποιείται επίσης για να διαπιστωθεί εάν ένας διαχειριστής αμοιβαίων κεφαλαίων ή διαχειριστής χαρτοφυλακίου έχει υπερβεί το ποσοστό απόδοσης της αγοράς σε μια χρονική περίοδο. Για παράδειγμα, αν ένας δείκτης αγοράς έχει αποδώσει συνολικά κέρδη 10% σε μια πενταετή περίοδο, αλλά ένας διαχειριστής κεφαλαίων έχει παράγει μόνο ετήσια απόδοση 9% κατά την ίδια περίοδο, ο διαχειριστής έχει υποπαιδεύσει την αγορά. (Επίσης, ελέγξτε

Σύνθετο Ετήσιο Ποσοστό Ανάπτυξης: Τι πρέπει να ξέρετε

.)

Το CAGR μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του αναμενόμενου ρυθμού αύξησης των χαρτοφυλακίων επενδύσεων για μεγάλες χρονικές περιόδους, σκοπούς ως εξοικονόμηση για συνταξιοδότηση. Εξετάστε τα ακόλουθα παραδείγματα:

1

. Ένας επενδυτής που αντιμετωπίζει κινδύνους είναι ικανοποιημένος με ένα μέτριο ετήσιο ποσοστό απόδοσης 3% για το χαρτοφυλάκιό του. Το σημερινό χαρτοφυλάκιο των 100.000 δολ. Θα αυξανόταν έτσι στα 180, 611 δολάρια μετά από 20 χρόνια. Αντίθετα, ένας επενδυτής ανεκτικός σε κινδύνους, ο οποίος αναμένει ετήσια απόδοση 6% στο χαρτοφυλάκιό του, θα δει $ 100.000 να αυξηθούν στα 320, 714 δολάρια μετά από 20 χρόνια.

2

. Το CAGR μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσει πόσα πρέπει να στοιβάζονται μακριά για να σώσει για έναν συγκεκριμένο στόχο. Ένα ζευγάρι που θα ήθελε να εξοικονομήσει 50.000 δολάρια σε 10 χρόνια προς μια προκαταβολή σε ένα condo θα χρειαζόταν να εξοικονομήσει $ 4,165 ετησίως εάν αναλάβει ετήσια απόδοση (CAGR) 4% για τις αποταμιεύσεις τους. Αν είναι διατεθειμένοι να αναλάβουν λίγο επιπλέον κίνδυνο και αναμένουν CAGR 5%, θα πρέπει να εξοικονομήσουν $ 3, 975 ετησίως.

3

. Το CAGR μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει τις αρετές της επένδυσης νωρίτερα και όχι αργότερα στη ζωή. Αν ο στόχος είναι να εξοικονομηθούν 1 εκατομμύριο δολάρια από τη συνταξιοδότηση στην ηλικία των 65 ετών, με βάση CAGR 6%, ένας 25χρονος θα χρειαζόταν να εξοικονομήσει $ 6,462 ετησίως για να επιτύχει αυτόν τον στόχο. Ένας 40χρονος, από την άλλη πλευρά, θα χρειαζόταν να εξοικονομήσει $ 18, 227, ή σχεδόν τρεις φορές το ποσό αυτό, για να επιτύχει τον ίδιο στόχο.

Τα CAGRs εμφανίζονται συχνά στα οικονομικά δεδομένα. Για παράδειγμα, το κατά κεφαλήν ΑΕγχΠ της Κίνας αυξήθηκε από 193 δολάρια το 1980 σε 6,091 δολάρια το 2012. Ποια είναι η ετήσια αύξηση του κατά κεφαλήν ΑΕγχΠ κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου των 32 ετών;Ο ρυθμός ανάπτυξης "i" σε αυτή την περίπτωση λειτουργεί σε ένα εντυπωσιακό 11. 4%.

• Σημεία που πρέπει να λάβετε υπόψη Βεβαιωθείτε ότι γνωρίζετε το ακριβές ετήσιο ποσοστό πληρωμής (APR) του δανείου σας, καθώς η μέθοδος υπολογισμού και ο αριθμός των περιόδων σύνθεσης μπορούν να επηρεάσουν τις μηνιαίες πληρωμές σας. Ενώ οι τράπεζες και τα χρηματοπιστωτικά ιδρύματα έχουν τυποποιημένες μεθόδους για τον υπολογισμό των τόκων που οφείλονται σε στεγαστικά δάνεια και σε άλλα δάνεια, οι υπολογισμοί ενδέχεται να διαφέρουν ελαφρώς από τη μια χώρα στην άλλη. Η σύνθεσή σας μπορεί να λειτουργήσει υπέρ σας όταν πρόκειται για τις επενδύσεις σας, αλλά μπορεί επίσης να λειτουργήσει για σας όταν κάνετε τις αποπληρωμές δανείων. Για παράδειγμα, κάνοντας το μισό της υποθήκης σας δύο φορές το μήνα, αντί να κάνετε την πλήρη πληρωμή μία φορά το μήνα, θα καταλήξει να μειώσει την περίοδο απόσβεσης και να σας εξοικονομήσει σημαντικό ενδιαφέρον.
• Η ενοποίηση μπορεί να λειτουργήσει εναντίον σας εάν μεταφέρετε δάνεια με πολύ υψηλά επιτόκια, όπως το χρέος της πιστωτικής κάρτας ή του πολυκαταστήματος. Για παράδειγμα, ένα υπόλοιπο πιστωτικής κάρτας των 25.000 δολαρίων που μεταφέρεται με επιτόκιο 20% - επιτοκίου μηνιαίως - θα είχε ως αποτέλεσμα μια συνολική χρέωση τόκου $ 5, 485 για ένα έτος ή $ 457 το μήνα.

Η κατώτατη γραμμή Αποκτήστε τη μαγεία της σύνθεσης που εργάζεται για σας επενδύοντας τακτικά και αυξάνοντας τη συχνότητα των επιστροφών του δανείου σας. Η εξοικείωση με τις βασικές έννοιες του απλού και σύνθετου ενδιαφέροντος θα σας βοηθήσει να κάνετε καλύτερες οικονομικές αποφάσεις, εξοικονομώντας σας χιλιάδες δολάρια και ενισχύοντας την καθαρή σας αξία με την πάροδο του χρόνου. (Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με τα επιτόκια, ανατρέξτε στο

Τι καθορίζει το επιτόκιο στο λογαριασμό μου στην αγορά χρήματος;