Στον οικονομικό κόσμο, τα μοντέλα Black-Scholes και διωνυμικής επιλογής της αποτίμησης είναι δύο από τις σημαντικότερες έννοιες της σύγχρονης οικονομικής θεωρίας. Και οι δύο χρησιμοποιούνται για να εκτιμήσουν μια επιλογή και το καθένα έχει τα δικά του πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα.

Μερικά από τα βασικά πλεονεκτήματα της χρήσης του δυαδικού μοντέλου είναι:

• προβολή πολλαπλών περιόδων
• διαφάνεια
• δυνατότητα ενσωμάτωσης πιθανότητας

AD:

Σε αυτό το άρθρο, θα διερευνήσουμε τα πλεονεκτήματα της χρήσης του διωνυμικού μοντέλου αντί του Black-Scholes, θα παράσχουμε μερικά βασικά βήματα για την ανάπτυξη του μοντέλου και θα εξηγήσουμε πώς χρησιμοποιείται.

Προβολή πολλαπλών περιόδων
Το διωνυμικό μοντέλο επιτρέπει μια προβολή πολλαπλών περιόδων για την τιμή του υποκείμενου στοιχείου ενεργητικού καθώς και την τιμή του δικαιώματος προαίρεσης. Σε αντίθεση με το μοντέλο Black-Scholes, το οποίο παρέχει ένα αριθμητικό αποτέλεσμα βασισμένο σε εισόδους, το διωνυμικό μοντέλο επιτρέπει τον υπολογισμό του περιουσιακού στοιχείου και της επιλογής για πολλαπλές περιόδους μαζί με το φάσμα πιθανών αποτελεσμάτων για κάθε περίοδο (βλ. Παρακάτω).

Το πλεονέκτημα αυτής της προβολής σε πολλαπλά χρονικά διαστήματα είναι ότι ο χρήστης μπορεί να απεικονίσει την μεταβολή της τιμής του περιουσιακού στοιχείου από περίοδο σε περίοδο και να αξιολογήσει την επιλογή με βάση τη λήψη αποφάσεων σε διαφορετικά χρονικά σημεία. Για μια αμερικανική επιλογή, η οποία μπορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγμή πριν από την ημερομηνία λήξης, το διωνυμικό μοντέλο μπορεί να παράσχει μια εικόνα για το κατά πόσον η άσκηση της επιλογής μπορεί να φανεί ελκυστική και πότε πρέπει να τηρείται για μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα. Με την εξέταση του διωνυμικού δένδρου των αξιών, μπορεί κανείς να καθορίσει εκ των προτέρων πότε μπορεί να λάβει απόφαση σχετικά με την άσκηση. Εάν η επιλογή έχει θετική αξία, υπάρχει η δυνατότητα άσκησης, ενώ αν έχει αξία μικρότερη από μηδέν, πρέπει να διατηρείται για μεγαλύτερες περιόδους.

Η στενή σχέση με την επανεξέταση πολλαπλών περιόδων είναι η ικανότητα του διωνυμικού μοντέλου να παρέχει διαφάνεια στην υποκείμενη αξία του περιουσιακού στοιχείου και της επιλογής καθώς εξελίσσεται με το χρόνο. Το μοντέλο Black-Scholes έχει πέντε εισροές:

Τιμή χωρίς κίνδυνο

Τιμή άσκησης
Τρέχουσα τιμή περιουσιακού στοιχείου

1. Χρόνος λήξης
2. Υποτιθέμενη μεταβλητότητα της τιμής του περιουσιακού στοιχείου < εισάγονται σε ένα μοντέλο Black-Scholes, το μοντέλο υπολογίζει μια τιμή για την επιλογή, αλλά οι επιπτώσεις αυτών των παραγόντων δεν αποκαλύπτονται σε βάση περιόδου σε περίοδο. Με το διωνυμικό μοντέλο μπορεί κανείς να δει την αλλαγή στην τιμή της υποκείμενης περιουσίας από περίοδο σε περίοδο και την αντίστοιχη αλλαγή που προκλήθηκε στην τιμή του δικαιώματος προαίρεσης.
3. Ενσωματώνοντας Πιθανότητες
4. Η βασική μέθοδος υπολογισμού του δυαδικού μοντέλου επιλογής είναι να χρησιμοποιήσει την ίδια πιθανότητα σε κάθε περίοδο για επιτυχία και αποτυχία μέχρι τη λήξη της επιλογής. Ωστόσο, μπορεί κανείς να ενσωματώσει στην πραγματικότητα διαφορετικές πιθανότητες για κάθε περίοδο με βάση τις νέες πληροφορίες που λαμβάνονται με το πέρασμα του χρόνου.
5. Για παράδειγμα, μπορεί να υπάρξει πιθανότητα 50/50, ώστε η τιμή της υποκείμενης περιουσίας να μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί κατά 30% σε μία περίοδο.Για τη δεύτερη περίοδο, ωστόσο, η πιθανότητα αύξησης της υποκείμενης τιμής του ενεργητικού μπορεί να αυξηθεί σε 70/30. Ας υποθέσουμε ότι αξιολογούμε ένα πετρέλαιο · δεν είμαστε σίγουροι ποια είναι η αξία αυτού του πετρελαίου καλά, αλλά υπάρχει μια πιθανότητα 50/50 ότι η τιμή θα αυξηθεί. Εάν οι τιμές του πετρελαίου αυξάνονται κατά την Περίοδο 1, καθιστώντας το πετρέλαιο πολύ πιο πολύτιμο και τα θεμελιώδη στοιχεία της αγοράς δείχνουν τώρα τη συνεχιζόμενη αύξηση των τιμών του πετρελαίου, η πιθανότητα περαιτέρω ανατίμησης της τιμής μπορεί τώρα να είναι 70%. Το διωνυμικό μοντέλο επιτρέπει αυτή την ευελιξία. το μοντέλο Black-Scholes δεν το κάνει.

Ανάπτυξη του μοντέλου

Το απλούστερο διωνυμικό μοντέλο θα έχει δύο αναμενόμενες αποδόσεις, των οποίων οι πιθανότητες αυξάνουν έως και το 100%. Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν δυο πιθανά αποτελέσματα για το πετρέλαιο σε κάθε χρονική στιγμή. Μια πιο σύνθετη έκδοση θα μπορούσε να έχει τρία ή περισσότερα διαφορετικά αποτελέσματα, εκάστη των οποίων δίνεται μια πιθανότητα εμφάνισης.
Για να υπολογίσουμε τις αποδόσεις ανά περίοδο ξεκινώντας από το μηδέν (τώρα), πρέπει να κάνουμε έναν προσδιορισμό της αξίας του υποκείμενου στοιχείου μία περίοδο από τώρα. Σε αυτό το παράδειγμα, θα υποθέσουμε τα εξής:

Τιμή υποκείμενου στοιχείου (P): 500 $

Τιμή άσκησης επιλογής κλήσης (K): 600 €
Αλλαγή τιμής κάθε περιόδου: 30% προς τα πάνω ή προς τα κάτω

Η τιμή του υποκείμενου στοιχείου είναι $ 500 και στην Περίοδο 1 μπορεί να αξίζει $ 650 ή $ 350. Αυτό θα ισοδυναμούσε με μια αύξηση ή μείωση κατά 30% σε μια περίοδο. Δεδομένου ότι η τιμή εξάσκησης των δικαιωμάτων αγοράς που έχουμε στην κατοχή μας είναι $ 600, εάν το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο καταλήξει σε λιγότερο από $ 600, η ​​αξία του δικαιώματος αγοράς θα είναι μηδέν. Από την άλλη πλευρά, εάν το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο υπερβαίνει την τιμή άσκησης των $ 600, η ​​αξία του δικαιώματος προαίρεσης θα είναι η διαφορά μεταξύ της τιμής του υποκείμενου στοιχείου ενεργητικού και της τιμής άσκησης. Ο τύπος για αυτόν τον υπολογισμό είναι [max (P-K), 0].

• Υποθέστε ότι υπάρχει πιθανότητα 50% να ανέβει και πιθανότητα 50% να πέσει. Χρησιμοποιώντας τις τιμές της περιόδου 1 ως παράδειγμα, αυτό υπολογίζεται ως [max (650-600, 0) * 50%] + [max (350-600, 0) * 50%] = 50 * 50% + 0 * = $ 25. Για να λάβουμε την τρέχουσα αξία της επιλογής κλήσης, πρέπει να εκπτωθούν τα $ 25 στην Περίοδο 1 πίσω στην Περίοδο 0, η οποία είναι $ 25 / (1 + 1%) = $ 24. 75. Τώρα μπορείτε να δείτε ότι αν αλλάξουν οι πιθανότητες, η αναμενόμενη αξία του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου θα αλλάξει επίσης. Εάν η πιθανότητα πρέπει να αλλάξει, μπορεί επίσης να αλλάξει για κάθε επόμενη περίοδο και δεν πρέπει απαραιτήτως να παραμείνει η ίδια καθ 'όλη τη διάρκεια.
• Το διωνυμικό μοντέλο μπορεί να επεκταθεί εύκολα σε πολλαπλές περιόδους. Αν και το μοντέλο Black-Scholes μπορεί να υπολογίσει το αποτέλεσμα μιας παρατεταμένης ημερομηνίας λήξης, το διωνυμικό μοντέλο επεκτείνει τα σημεία απόφασης σε πολλαπλές περιόδους.
• Χρησιμοποιεί για το διωνυμικό μοντέλο
• Εκτός από τη χρήση του για τον υπολογισμό της αξίας μιας επιλογής, το διωνυμικό μοντέλο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για έργα ή επενδύσεις με υψηλό βαθμό αβεβαιότητας, αποφάσεις κεφαλαίου-προϋπολογισμού και κατανομής πόρων καθώς και έργα με πολλαπλές περιόδους ή ενσωματωμένη επιλογή είτε να συνεχίσουν είτε να εγκαταλείψουν σε συγκεκριμένα χρονικά σημεία.

Ένα απλό παράδειγμα είναι ένα έργο που απαιτεί γεώτρηση για πετρέλαιο. Η αβεβαιότητα αυτού του τύπου έργου προκύπτει λόγω της έλλειψης διαφάνειας όσον αφορά το εάν το εκσκαφόμενο έδαφος έχει καθόλου λάδια, την ποσότητα του πετρελαίου που μπορεί να τρυπηθεί, αν βρεθεί πετρέλαιο και την τιμή με την οποία μπορεί να πωληθεί το λάδι μία φορά εξάγεται.

Το μοντέλο διωνυμικής επιλογής μπορεί να βοηθήσει στη λήψη αποφάσεων σε κάθε σημείο του έργου γεώτρησης πετρελαίου. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι αποφασίζουμε να προχωρήσουμε, αλλά το πετρέλαιο θα είναι κερδοφόρο μόνο εάν βρούμε αρκετό πετρέλαιο και η τιμή του πετρελαίου υπερβαίνει ένα ορισμένο ποσό. Θα χρειαστεί μια ολόκληρη περίοδος για να καθορίσουμε πόσο λάδι μπορούμε να εξαγάγουμε καθώς και την τιμή του πετρελαίου εκείνη τη στιγμή. Μετά την πρώτη περίοδο (για ένα έτος, για παράδειγμα), μπορούμε να αποφασίσουμε με βάση αυτά τα δύο σημεία δεδομένων αν θα συνεχίσουμε να δουλεύουμε ή να εγκαταλείψουμε το έργο. Αυτές οι αποφάσεις μπορούν να γίνουν συνεχώς μέχρις ότου επιτευχθεί ένα σημείο όπου δεν υπάρχει αξία στη διάτρηση, οπότε το φρεάτιο θα εγκαταλειφθεί.

Το κατώτατο όριο

Το διωνυμικό μοντέλο επιτρέπει την προβολή περιπτώσεων πολλαπλών περιόδων για την υποκείμενη τιμή του ενεργητικού και την τιμή του δικαιώματος για πολλαπλές περιόδους, καθώς και το φάσμα πιθανών αποτελεσμάτων για κάθε περίοδο, προσφέροντας μια πιο λεπτομερή προβολή. Ενώ τόσο το μοντέλο Black-Scholes όσο και το διωνυμικό μοντέλο μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση των επιλογών, το διωνυμικό μοντέλο έχει απλώς ένα ευρύτερο φάσμα εφαρμογών, είναι πιο διαισθητικό και πιο εύκολο στη χρήση.