Ομοίως, τα σημεία δεδομένων που παριστάνονται σε γραφήματα για κάθε δεδομένο σύνολο δεδομένων μπορεί να μοιάζουν με διαφορετικούς τύπους διανομών. Τρία από τα πιο κοινά είναι αριστερά ευθυγραμμισμένα, δεξιά ευθυγραμμισμένα και μπερδεμένα διανομές:
Σημειώστε την κόκκινη γραμμή τάσης σε κάθε ένα από αυτά τα γραφήματα. Αυτό δείχνει κατά προσέγγιση την τάση κατανομής δεδομένων. Η πρώτη, "LEFT Aligned Distribution", δείχνει ότι η πλειοψηφία των σημείων δεδομένων πέφτει στο χαμηλότερο εύρος τιμών. Στο δεύτερο γράφημα "Δίκτυο ευθυγραμμισμένης διανομής", η πλειοψηφία των σημείων δεδομένων πέφτει στο υψηλότερο άκρο της περιοχής, ενώ η τελευταία, "Jumbled Distribution", αντιπροσωπεύει ένα μικτό σύνολο δεδομένων χωρίς σαφή τάση.Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις όπου η διανομή σημείων δεδομένων τείνει να είναι γύρω από μια κεντρική τιμή και το γράφημα δείχνει μια τέλεια κανονική κατανομή, εξίσου ισορροπημένη και από τις δύο πλευρές με τον μεγαλύτερο αριθμό σημείων δεδομένων συγκεντρωμένο στο κέντρο.
Εδώ είναι ένα τέλειο, κανονικά κατανεμημένο σύνολο δεδομένων.
Η κεντρική τιμή εδώ είναι 50, η οποία έχει τον μεγαλύτερο αριθμό σημείων δεδομένων, και η διανομή αποκλίνει ομοιόμορφα προς ακραίες τελικές τιμές 0 και 100, οι οποίες έχουν τον μικρότερο αριθμό σημείων δεδομένων. Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική γύρω από την κεντρική τιμή με τις μισές τιμές σε κάθε πλευρά.
Πολλά παραδείγματα της πραγματικής ζωής ταιριάζουν με την κατανομή καμπύλης καμπάνας:Πετάξτε ένα δίκαιο κέρμα πολλές φορές (πχ 100 φορές ή περισσότερο) και θα έχετε ισορροπημένη κανονική κατανομή των κεφαλών και των ουρών.
- Ρίξτε ένα ζευγάρι δίκαιων ζαριών πολλές φορές (ας πούμε 100 φορές ή περισσότερο) και το αποτέλεσμα θα είναι μια ισορροπημένη, κανονική διανομή κεντραρισμένη γύρω από τον αριθμό 7 και ομοιόμορφα μειωμένη προς τις τιμές 2 και 12.
- το ύψος των ατόμων σε μια ομάδα σημαντικού μεγέθους και τα σήματα που λαμβάνονται από τους ανθρώπους σε μια τάξη ακολουθούν και τα κανονικά πρότυπα διανομής.
- Στον τομέα της χρηματοδότησης, θεωρείται ότι οι αλλαγές στις τιμές λογισμού
- των συναλλαγματικών ισοτιμιών, των δεικτών τιμών και των τιμών των μετοχών κατανέμονται κανονικά.Η σχέση χρηματοδότησης και επενδύσεων
Κάθε επένδυση έχει δύο πτυχές: τον κίνδυνο και την απόδοση. Οι επενδυτές αναζητούν τον χαμηλότερο δυνατό κίνδυνο για την υψηλότερη δυνατή απόδοση. Η κανονική κατανομή ποσοτικοποιεί αυτές τις δύο πλευρές με τον μέσο όρο για τις αποδόσεις και την τυπική απόκλιση για τον κίνδυνο.(
Μέση ή
Αναμενόμενη τιμή Η μέση τιμή της συγκεκριμένης μετοχής θα μπορούσε να είναι 1. 5% σε ημερήσια βάση - που σημαίνει ότι κατά μέσο όρο αυξάνεται κατά 1,5%. Αυτή η μέση τιμή ή η αναμενόμενη τιμή που αντιπροσωπεύει την απόδοση μπορεί να φθάσει στον υπολογισμό του μέσου όρου σε ένα αρκετά μεγάλο σύνολο δεδομένων που περιέχει τις ιστορικές ημερήσιες μεταβολές των τιμών αυτού του αποθέματος. Όσο υψηλότερο είναι ο μέσος όρος, τόσο το καλύτερο. Τυπική απόκλιση
Η τυπική απόκλιση υποδεικνύει το ποσό κατά το οποίο οι τιμές αποκλίνουν κατά μέσο όρο από το μέσο όρο. Όσο υψηλότερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο πιο επικίνδυνη είναι η επένδυση, καθώς οδηγεί σε μεγαλύτερη αβεβαιότητα.
Η γραφική απεικόνιση του ίδιου:
Ως εκ τούτου, η γραφική αναπαράσταση της κανονικής κατανομής μέσω της μέσης και της τυπικής απόκλισης επιτρέπει την αναπαράσταση τόσο των επιστροφών όσο και των κινδύνων μέσα σε ένα σαφώς καθορισμένο εύρος.
Βοηθά να γνωρίζουμε (και να βεβαιωθούμε με σιγουριά) ότι αν κάποιο σύνολο δεδομένων ακολουθεί το κανονικό μοτίβο διανομής, ο μέσος όρος του θα μας επιτρέψει να μάθουμε τι αναμένει να περιμένουμε και η τυπική απόκλιση του θα μας επιτρέψει να γνωρίζουμε ότι περίπου το 68% οι τιμές θα είναι εντός 1 τυπικής απόκλισης, 95% εντός 2 τυπικών αποκλίσεων και 99% των τιμών θα εμπίπτουν σε 3 τυπικές αποκλίσεις. Ένα σύνολο δεδομένων που έχει μέσο όρο 1. 5 και τυπική απόκλιση 1 είναι πολύ πιο επικίνδυνο από ένα άλλο σύνολο δεδομένων που έχει μέση τιμή 1. 5 και τυπική απόκλιση 0. 1.
Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές για κάθε επιλεγμένο περιουσιακό στοιχείο (δηλαδή μετοχές, κεφάλαια) θα καταστήσει τον επενδυτή ενήμερο για τις αναμενόμενες αποδόσεις και κινδύνους.
Είναι εύκολο να εφαρμοστεί αυτή η έννοια και να αντιπροσωπεύει τον κίνδυνο και την απόδοση σε ένα μόνο απόθεμα, ομόλογο ή ταμείο, αλλά μπορεί να επεκταθεί σε ένα χαρτοφυλάκιο πολλαπλών περιουσιακών στοιχείων;
Τα άτομα αρχίζουν να διαπραγματεύονται αγοράζοντας ένα μόνο απόθεμα ή ομολογία ή επενδύοντας σε αμοιβαίο κεφάλαιο. Σταδιακά, τείνουν να αυξάνουν τις συμμετοχές τους και να αγοράζουν πολλαπλές μετοχές, κεφάλαια ή άλλα περιουσιακά στοιχεία, δημιουργώντας έτσι ένα χαρτοφυλάκιο. Σε αυτό το αυξητικό σενάριο, τα άτομα χτίζουν τα χαρτοφυλάκιά τους χωρίς στρατηγική ή πολύ προνοητικότητα. Οι επαγγελματίες διαχειριστές κεφαλαίων, οι έμποροι και οι διαμορφωτές της αγοράς ακολουθούν μια συστηματική μέθοδο για να χτίσουν το χαρτοφυλάκιό τους χρησιμοποιώντας μια μαθηματική προσέγγιση που ονομάζεται σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίων (MPT), η οποία βασίζεται στην έννοια της "κανονικής διανομής". "
Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου
Η σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου προσφέρει μια συστηματική μαθηματική προσέγγιση που στοχεύει στη μεγιστοποίηση της αναμενόμενης απόδοσης του χαρτοφυλακίου για ένα δεδομένο ποσό κινδύνου χαρτοφυλακίου επιλέγοντας τα ποσοστά διαφόρων περιουσιακών στοιχείων. Εναλλακτικά, προσφέρει επίσης την ελαχιστοποίηση του κινδύνου για ένα δεδομένο επίπεδο αναμενόμενης απόδοσης.
Για να επιτευχθεί αυτός ο στόχος, τα περιουσιακά στοιχεία που θα συμπεριληφθούν στο χαρτοφυλάκιο δεν θα πρέπει να επιλέγονται μόνο βάσει της ατομικής τους αξίας, αλλά βάσει του τρόπου με τον οποίο κάθε στοιχείο ενεργητικού θα εκτελεσθεί σε σχέση με τα υπόλοιπα στοιχεία του χαρτοφυλακίου.
Με λίγα λόγια, το MPT καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο επιτυγχάνεται η καλύτερη δυνατή διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου για τα καλύτερα δυνατά αποτελέσματα: μέγιστες αποδόσεις για ένα αποδεκτό επίπεδο κινδύνου ή ελάχιστο κίνδυνο για ένα επιθυμητό επίπεδο αποδόσεων.
Τα οικοδομικά τετράγωνα
Το MPT ήταν μια τόσο επαναστατική ιδέα όταν εισήχθη ότι οι εφευρέτες του κέρδισαν ένα ευγενές βραβείο. Αυτή η θεωρία απέδωσε με επιτυχία έναν μαθηματικό τύπο για να κατευθύνει τη διαφοροποίηση στην επένδυση.
Η διαφοροποίηση είναι μια τεχνική διαχείρισης κινδύνου, η οποία απομακρύνει τον κίνδυνο "όλα τα αυγά σε ένα καλάθι" επενδύοντας σε μη συσχετισμένα αποθέματα, κλάδους ή κατηγορίες περιουσιακών στοιχείων. Στην ιδανική περίπτωση, η θετική απόδοση ενός περιουσιακού στοιχείου στο χαρτοφυλάκιο θα ακυρώσει την αρνητική απόδοση άλλων περιουσιακών στοιχείων.
Για να ληφθεί η μέση απόδοση του χαρτοφυλακίου που έχει διαφορετικά περιουσιακά στοιχεία
n
, υπολογίζεται ο αναλογικός σταθμισμένος συνδυασμός των αποδόσεων των συστατικών στοιχείων του ενεργητικού. Λόγω της φύσης των στατιστικών υπολογισμών και της κανονικής κατανομής, η συνολική απόδοση του χαρτοφυλακίου (R p ) υπολογίζεται ως: το άθροισμα (Σ) όπου w i
το περιουσιακό στοιχείο i στο χαρτοφυλάκιο, R i είναι η απόδοση (μέση) του περιουσιακού στοιχείου i. Ο κίνδυνος χαρτοφυλακίου (ή τυπική απόκλιση) είναι συνάρτηση των συσχετισμών των περιουσιακών στοιχείων που περιλαμβάνονται, για όλα τα ζεύγη περιουσιακών στοιχείων (σε σχέση με το άλλο στο ζεύγος). Λόγω της φύσης των στατιστικών υπολογισμών και της κανονικής κατανομής, ο συνολικός κίνδυνος χαρτοφυλακίου (Std-dev) p
υπολογίζεται ως: όπου cor-cof είναι ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων i και j, και sqrt είναι η τετραγωνική ρίζα. Αυτό φροντίζει για τη σχετική απόδοση κάθε στοιχείου ενεργητικού σε σχέση με την άλλη.
Παρόλο που εμφανίζεται μαθηματικά πολύπλοκη, η απλή έννοια που εφαρμόζεται εδώ δεν περιλαμβάνει μόνο τις τυποποιημένες αποκλίσεις των μεμονωμένων περιουσιακών στοιχείων, αλλά και τις σχετικές μεταξύ τους.
Ένα καλό παράδειγμα είναι εδώ από το Πανεπιστήμιο της Ουάσινγκτον.
Ένα γρήγορο παράδειγμα
Ως πειράματα σκέψης, ας φανταστούμε ότι είμαστε διαχειριστής χαρτοφυλακίου στον οποίο έχει δοθεί κεφάλαιο και έχει την εντολή να κατανείμει το κεφάλαιο σε δύο διαθέσιμα περιουσιακά στοιχεία (A & B) η επιστροφή είναι μέγιστη και ο κίνδυνος είναι χαμηλότερος.
Έχουμε επίσης τις ακόλουθες διαθέσιμες τιμές:
R
a
= 0. 175 R b
= 0. 055 a = 0. 258
(Std-dev) b = 0. 115
(Std-dev) ab = -0. 004875
(Cor-cof) ab = -0. 164
Ξεκινώντας με ισόποση κατανομή 50-50 σε κάθε στοιχείο A & B, το R p υπολογίζει σε 0. 115 και (Std-dev)
p Μια απλή σύγκριση μας λέει ότι για αυτό το χαρτοφυλάκιο 2 περιουσιακών στοιχείων, η απόδοση καθώς και ο κίνδυνος είναι ενδιάμεσα μεταξύ των μεμονωμένων αξιών κάθε περιουσιακού στοιχείου. Ωστόσο, στόχος μας είναι να βελτιώσουμε την απόδοση του χαρτοφυλακίου πέρα από τον απλό μέσο όρο είτε μεμονωμένου περιουσιακού στοιχείου και να μειώσουμε τον κίνδυνο έτσι ώστε να είναι χαμηλότερος από αυτόν των μεμονωμένων περιουσιακών στοιχείων. Ας πάρουμε τώρα μια θέση 1,55 κεφαλαίου στο ενεργητικό Α και ένα -0. (Αρνητική κατανομή κεφαλαίου σημαίνει ότι το εν λόγω απόθεμα και το κεφάλαιο που εισπράχθηκαν χρησιμοποιήθηκαν για να αγοράσουν το πλεόνασμα του άλλου περιουσιακού στοιχείου με θετική κατανομή κεφαλαίου. Με άλλα λόγια, είμαστε βραχυπρόθεσμα απόθεμα Β για το 0.(<599 φορές)> Χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε R
p
ως 0. 1604 και (Std-dev)
ως 0. 4005. Ομοίως, μπορούμε να συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε διαφορετικά βάρη κατανομής στο στοιχείο Α & Β και να φτάσουμε σε διαφορετικά σύνολα Rp και (Std-dev) p. Σύμφωνα με την επιθυμητή επιστροφή (Rp), μπορεί κανείς να επιλέξει το καλύτερο αποδεκτό επίπεδο κινδύνου (std-dev) p. Εναλλακτικά, για ένα επιθυμητό επίπεδο κινδύνου, μπορείτε να επιλέξετε την καλύτερη διαθέσιμη απόδοση χαρτοφυλακίου. Είτε έτσι είτε αλλιώς, μέσω αυτού του μαθηματικού μοντέλου θεωρίας χαρτοφυλακίου, είναι δυνατόν να επιτευχθεί ο στόχος της δημιουργίας ενός αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου με τον επιθυμητό συνδυασμό κινδύνων και αποδόσεων. Η χρήση αυτοματοποιημένων εργαλείων επιτρέπει την εύκολη και ομαλή ανίχνευση των καλύτερων δυνατών αναλογιών, χωρίς να χρειαστεί μακρύς υπολογισμός με το χέρι. Το αποτελεσματικό όριο, το πρότυπο τιμολόγησης περιουσιακών στοιχείων κεφαλαίου (CAPM) και η τιμολόγηση περιουσιακών στοιχείων χρησιμοποιώντας MPT εξελίσσονται επίσης από το ίδιο κανονικό μοντέλο διανομής και αποτελούν επέκταση της MPT. Οι προκλήσεις για το MPT (και την υποκείμενη κανονική κατανομή):
Δυστυχώς, κανένα μαθηματικό μοντέλο δεν είναι τέλειο και το καθένα έχει ανεπάρκειες και περιορισμούς.
Η βασική παραδοχή ότι οι αποδόσεις των χρηματιστηριακών τιμών ακολουθούν την ίδια την κανονική διανομή αμφισβητούνται ξανά και ξανά. Υπάρχει επαρκής εμπειρική απόδειξη των περιπτώσεων όπου οι τιμές αποτυγχάνουν να τηρούν την υποτιθέμενη κανονική κατανομή. Η εδραίωση σύνθετων μοντέλων σε τέτοιες υποθέσεις μπορεί να οδηγήσει σε αποτελέσματα με μεγάλες αποκλίσεις.
Προχωρώντας περισσότερο στην MPT, οι υπολογισμοί και οι υποθέσεις σχετικά με το συντελεστή συσχέτισης και τη συνδιακύμανση που παραμένουν σταθεροί (βάσει ιστορικών δεδομένων) μπορεί να μην ισχύουν απαραίτητα για τις μελλοντικές αναμενόμενες τιμές. Για παράδειγμα, τα ομόλογα και οι χρηματιστηριακές αγορές παρουσίασαν τέλεια συσχέτιση στην αγορά του Ηνωμένου Βασιλείου κατά την περίοδο 2001-2004, όπου οι αποδόσεις από τα δύο περιουσιακά στοιχεία μειώθηκαν ταυτόχρονα. Στην πραγματικότητα, το αντίστροφο έχει παρατηρηθεί σε μεγάλες ιστορικές περιόδους πριν από το 2001.
Η συμπεριφορά των επενδυτών δεν λαμβάνεται υπόψη σε αυτό το μαθηματικό μοντέλο. Οι φόροι και τα έξοδα συναλλαγών παραμελούνται, παρόλο που η κλασματική κατανομή κεφαλαίου και η πιθανότητα βραχυχρόνιων περιουσιακών στοιχείων υποτίθεται.
Στην πραγματικότητα, καμία από αυτές τις υποθέσεις δεν μπορεί να ισχύει, πράγμα που σημαίνει ότι οι πραγματοποιημένες οικονομικές αποδόσεις μπορεί να διαφέρουν σημαντικά από τα αναμενόμενα κέρδη.
Η κατώτατη γραμμή:
Τα μαθηματικά μοντέλα παρέχουν έναν καλό μηχανισμό για να ποσοτικοποιήσουν μερικές μεταβλητές με έναν και μοναδικό αριθμητικό αριθμό. Αλλά λόγω των περιορισμών των υποθέσεων, τα μοντέλα μπορεί να αποτύχουν. Η κανονική διανομή, η οποία αποτελεί τη βάση της Θεωρίας Χαρτοφυλακίου, δεν ισχύει κατ 'ανάγκη για τα αποθέματα και τα άλλα πρότυπα τιμών των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων. Η θεωρία χαρτοφυλακίου έχει πολλές παραδοχές, οι οποίες πρέπει να εξεταστούν κριτικά, προτού λάβουμε σημαντικές οικονομικές αποφάσεις.