Ο σύμβουλος επενδύσεων σας προτείνει ένα μηνιαίο επενδυτικό πρόγραμμα εισοδήματος το οποίο υπόσχεται μεταβλητή απόδοση κάθε μήνα. Θα επενδύσετε σε αυτό μόνο εάν είστε σίγουροι για ένα μέσο όρο των $ 180 μηνιαίο εισόδημα. Ο σύμβουλός σας σας λέει επίσης ότι για τους τελευταίους 300 μήνες, το σύστημα είχε αποδόσεις με μέση τιμή $ 190 και τυπική απόκλιση των $ 75. Πρέπει να επενδύσετε σε αυτό το πρόγραμμα;

Οι δοκιμές υποθέσεων είναι χρήσιμες για τη λήψη τέτοιων αποφάσεων.

AD:

Αυτό το άρθρο υποθέτει την εξοικείωση των αναγνωστών με τις έννοιες ενός κανονικού πίνακα διανομής, του τύπου, της τιμής p και των συναφών θεμελιωδών στοιχείων των στατιστικών στοιχείων.

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με πρακτικές εφαρμογές δεδομένων για τον προσδιορισμό του κινδύνου, ανατρέξτε στην ενότητα "5 τρόποι μέτρησης του κινδύνου αμοιβαίου κεφαλαίου."

Η δοκιμή υποθέσεων (ή έλεγχος σημαντικότητας) είναι ένα μαθηματικό μοντέλο για δοκιμή μιας αξίωσης, ιδέας ή υπόθεσης σχετικά με μια παράμετρο ενδιαφέροντος σε ένα συγκεκριμένο σύνολο πληθυσμού, χρησιμοποιώντας δεδομένα που μετριούνται σε ένα σύνολο δειγμάτων. Οι υπολογισμοί εκτελούνται σε επιλεγμένα δείγματα για να συγκεντρωθούν πιο αποφασιστικές πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά ολόκληρου του πληθυσμού, πράγμα που επιτρέπει έναν συστηματικό τρόπο για τη διερεύνηση αξιώσεων ή ιδεών για ολόκληρο το σύνολο δεδομένων.

AD:

Ακολουθεί ένα απλό παράδειγμα: (Α) Ένας διευθυντής σχολείου αναφέρει ότι οι μαθητές του σχολείου της βαθμολογούν κατά μέσο όρο 7 από τις 10 στις εξετάσεις. Για να δοκιμάσουμε αυτήν την "υπόθεση", καταγράφουμε σημάδια από 30 φοιτητές (δείγμα) από ολόκληρο τον φοιτητικό πληθυσμό του σχολείου (πχ 300) και υπολογίζουμε τον μέσο όρο του δείγματος. Στη συνέχεια, μπορούμε να συγκρίνουμε τον (υπολογιζόμενο) μέσο δείγματος με τον (αναφερόμενο) μέσο πληθυσμό και να επιχειρήσουμε να επιβεβαιώσουμε την υπόθεση.

AD:

Ένα άλλο παράδειγμα: (Β) Η ετήσια απόδοση ενός συγκεκριμένου αμοιβαίου κεφαλαίου είναι 8%. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει αμοιβαίο κεφάλαιο εδώ και 20 χρόνια. Λαμβάνουμε ένα τυχαίο δείγμα ετήσιων αποδόσεων του αμοιβαίου κεφαλαίου, για παράδειγμα, πέντε ετών (δείγμα) και υπολογίζουμε τον μέσο όρο του. Στη συνέχεια, συγκρίνουμε τον (υπολογιζόμενο) μέσο δείγματος με τον μέσο πληθυσμό (που αξιώνεται) για να επαληθεύσουμε την υπόθεση.

Υπάρχουν διαφορετικές μεθοδολογίες για τη δοκιμή υποθέσεων. Υπάρχουν τα ακόλουθα τέσσερα βασικά βήματα:

Βήμα 1: Ορίστε την υπόθεση:

Συνήθως η αναφερόμενη τιμή (ή τα στατιστικά στοιχεία απαιτήσεων) αναφέρεται ως υπόθεση και θεωρείται αληθής. Για τα παραπάνω παραδείγματα, η υπόθεση θα είναι:

• Παράδειγμα A: Οι μαθητές στο σχολείο βαθμολογούν κατά μέσο όρο 7 από 10 στις εξετάσεις
• Παράδειγμα B: Ετήσια απόδοση του αμοιβαίου κεφαλαίου είναι 8% ετησίως

η περιγραφή αποτελεί την Null Hypothesis (H ₀ ) "και είναι υποτιθέμενη . Όπως μια δίκη της κριτικής επιτροπής ξεκινά με την υπόθεση της αθωότητας του ύποπτου ακολουθούμενη από την αποφασιστικότητα αν η υπόθεση είναι ψευδής. Ομοίως, η δοκιμή υποθέσεων ξεκινά με τη δήλωση και την υποβολή της "Null Hypothesis", και στη συνέχεια η διαδικασία καθορίζει αν η παραδοχή είναι πιθανό να είναι αληθής ή ψευδής.

Το σημαντικό σημείο που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι δοκιμάζουμε τη μηδενική υπόθεση επειδή υπάρχει ένα στοιχείο αμφιβολίας για την εγκυρότητά του. Όποια και αν είναι η πληροφορία που είναι αντίθετη με τη δηλωμένη μηδενική υπόθεση, συλλαμβάνεται στην Εναλλακτική Υπόθεση (H ₁ ). Για τα παραπάνω παραδείγματα, η εναλλακτική υπόθεση θα είναι:

• Οι μαθητές βαθμολογούν έναν μέσο όρο όχι ίσο με 7
• Ετήσια απόδοση του αμοιβαίου κεφαλαίου όχι σε 8% ετησίως

Συνοπτικά, η εναλλακτική υπόθεση είναι μια άμεση αντίφαση της μηδενικής υπόθεσης.

Όπως και σε μια δίκη, η κριτική επιτροπή αναλαμβάνει την αθωότητα του ύποπτου (null hypothesis). Ο εισαγγελέας πρέπει να αποδείξει διαφορετικά (εναλλακτικά). Ομοίως, ο ερευνητής πρέπει να αποδείξει ότι η μηδενική υπόθεση είναι είτε αληθής είτε ψευδής. Εάν ο εισαγγελέας δεν αποδείξει την εναλλακτική υπόθεση, η κριτική επιτροπή πρέπει να αφήσει τον "ύποπτο" (βασίζοντας την απόφαση σε null υπόθεση). Ομοίως, αν ο ερευνητής αποτύχει να αποδείξει εναλλακτική υπόθεση (ή απλά δεν κάνει τίποτα), τότε η υπόθεση null θεωρείται αληθής.

Βήμα 2: Ορίστε τα κριτήρια απόφασης

Τα κριτήρια λήψης αποφάσεων πρέπει να βασίζονται σε ορισμένες παραμέτρους των συνόλων δεδομένων και εδώ μπαίνει η εικόνα στην κανονική κατανομή.

Σύμφωνα με τα τυποποιημένα στατιστικά στοιχεία για την κατανομή δειγματοληψίας, "Για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος n, η κατανομή δειγματοληψίας του Xρ είναι φυσιολογική εάν ο πληθυσμός Χ από τον οποίο αντλείται το δείγμα κατανέμεται κανονικά. "Ως εκ τούτου, οι πιθανότητες όλων των άλλων πιθανών δειγμάτων που θα μπορούσε να επιλέξει κανονικά διανέμονται.

Για e. σολ. , καθορίστε εάν η μέση ημερήσια απόδοση κάθε μετοχής που είναι εισηγμένη στη χρηματιστηριακή αγορά XYZ γύρω στο χρόνο της Πρωτοχρονιάς είναι μεγαλύτερη από 2%.

H ₀ : Υπόθεση Null: μέση = 2%

H ₁ : Εναλλακτική Υπόθεση: Πάρτε το δείγμα (για παράδειγμα 50 αποθέματα από τα συνολικά 500) και υπολογίστε το μέσο δείγματος.

Για κανονική κατανομή, το 95% των τιμών βρίσκεται μέσα σε 2 τυπικές αποκλίσεις του μέσου όρου του πληθυσμού. Ως εκ τούτου, αυτή η κανονική κατανομή και η υπόθεση κεντρικού ορίου για το σύνολο δειγμάτων δεδομένων μας επιτρέπει να καθορίσουμε 5% ως επίπεδο σημαντικότητας. Έχει νόημα ότι κάτω από αυτήν την υπόθεση, υπάρχει λιγότερη από 5% πιθανότητα (100-95) να πάρει κανόνα που υπερβαίνει τις 2 τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο όρο του πληθυσμού. Ανάλογα με τη φύση των συνόλων δεδομένων, άλλα επίπεδα σημαντικότητας μπορούν να ληφθούν στο 1%, 5% ή 10%. Για τους οικονομικούς υπολογισμούς (συμπεριλαμβανομένης της συμπεριφοράς χρηματοδότησης), το 5% είναι το γενικά αποδεκτό όριο.

Αν βρούμε υπολογισμούς που ξεπερνούν τις συνήθεις 2 τυπικές αποκλίσεις, τότε έχουμε μια ισχυρή περίπτωση υπερβολικών τιμών για να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. Οι τυπικές αποκλίσεις είναι εξαιρετικά σημαντικές για την κατανόηση των στατιστικών δεδομένων. Μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτά παρακολουθώντας το βίντεο της Investopedia σχετικά με τις τυπικές αποκλίσεις. Γραφικά, αντιπροσωπεύεται ως εξής:

Στο παραπάνω παράδειγμα, αν ο μέσος όρος του δείγματος είναι πολύ μεγαλύτερος από 2% (πχ 3, 5%), τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση.Η εναλλακτική υπόθεση (μέση τιμή> 2%) είναι αποδεκτή, γεγονός που επιβεβαιώνει ότι η μέση ημερήσια απόδοση των αποθεμάτων είναι πράγματι πάνω από 2%.

Ωστόσο, εάν ο μέσος όρος του δείγματος δεν είναι πιθανόν να είναι σημαντικά μεγαλύτερος από 2% (και να παραμείνει στο λένε περίπου 2,2%), τότε ΔΕΝ μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. Η πρόκληση έγκειται στο πώς να αποφασίζουμε για τέτοιες περιπτώσεις στενής εμβέλειας. Για να καταλήξουμε σε συμπεράσματα από επιλεγμένα δείγματα και αποτελέσματα, πρέπει να προσδιοριστεί ένα επίπεδο

, το οποίο επιτρέπει να γίνει συμπέρασμα σχετικά με την μηδενική υπόθεση. Η εναλλακτική υπόθεση επιτρέπει να προσδιοριστεί το επίπεδο σπουδαιότητας ή η έννοια της "κρίσιμης τιμής" για να ληφθούν αποφάσεις σε περιπτώσεις στενής εμβέλειας. Σύμφωνα με τον τυπικό ορισμό, "μια κρίσιμη τιμή είναι μια τιμή αποκοπής που καθορίζει τα όρια πέρα ​​από τα οποία λιγότερο από το 5% τα μέσα μπορούν να ληφθούν εάν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής.Το δείγμα που λαμβάνεται πέρα ​​από μια κρίσιμη τιμή θα οδηγήσει σε μια απόφαση να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση. "Στο παραπάνω παράδειγμα, αν έχουμε ορίσει την κρίσιμη τιμή ως 2,1% ο υπολογισμένος μέσος όρος έρχεται στο 2, 2%, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση Μια κρίσιμη τιμή καθορίζει μια σαφή οριοθέτηση για την αποδοχή ή την απόρριψη Περισσότερα παραδείγματα που πρέπει να ακολουθήσουμε - Πρώτον, ας δούμε μερικά ακόμα βασικά βήματα και ιδέες.

Βήμα 3: Υπολογίστε το στατιστικό αποτέλεσμα της δοκιμής:

Αυτό το βήμα περιλαμβάνει τον υπολογισμό των απαιτούμενων αριθμών, γνωστών ως στατιστικά στοιχεία δοκιμών (όπως μέσος όρος, βαθμολογία z, τιμή p, κ.λπ.). Υπολογίζονται οι διάφορες τιμές που πρέπει να υπολογιστούν σε μια επόμενη ενότητα με παραδείγματα.

Βήμα 4: Εξάγετε συμπεράσματα σχετικά με την υπόθεση

Με την υπολογιζόμενη (-ες) τιμή (-ες), αποφασίστε τη μηδενική υπόθεση. Εάν η πιθανότητα λήψης ενός δείγματος είναι μικρότερη από 5%, τότε το συμπέρασμα είναι να

απορρίψει την μηδενική υπόθεση. Διαφορετικά, δέχεται και διατηρεί την μηδενική υπόθεση. Τύποι σφαλμάτων στη λήψη αποφάσεων:

Μπορούν να υπάρξουν τέσσερα πιθανά αποτελέσματα στη λήψη αποφάσεων βάσει δειγμάτων, όσον αφορά τη σωστή εφαρμογή σε ολόκληρο τον πληθυσμό:

Απόφαση για διατήρηση

Απόρριψη > Εφαρμόζεται σε ολόκληρο τον πληθυσμό	Σωστό
Λανθασμένο	(Σφάλμα ΤΥΠΟΥ 1 - α)	Δεν ισχύει για ολόκληρο τον πληθυσμό
Τα περιστατικά "Correct" είναι εκείνα όπου οι αποφάσεις που λαμβάνονται για τα δείγματα είναι πραγματικά εφαρμόσιμες σε ολόκληρο τον πληθυσμό. Οι περιπτώσεις σφαλμάτων προκύπτουν όταν κάποιος αποφασίσει να διατηρήσει (ή να απορρίψει) την μηδενική υπόθεση βάσει δειγματοληπτικών υπολογισμών, αλλά αυτή η απόφαση δεν ισχύει πραγματικά για ολόκληρο τον πληθυσμό. Αυτές οι περιπτώσεις αποτελούν σφάλματα Τύπου 1 (άλφα) και Τύπου 2 (βήτα), όπως υποδεικνύεται στον παραπάνω πίνακα.	Η επιλογή της σωστής κρίσιμης τιμής επιτρέπει την εξάλειψη των σφαλμάτων άλφα τύπου 1 ή τον περιορισμό τους σε ένα αποδεκτό εύρος. Το Alpha υποδηλώνει το σφάλμα σε επίπεδο σημασίας και καθορίζεται από τον ερευνητή. Για να διατηρηθεί η τυπική σημασία ή το επίπεδο εμπιστοσύνης 5% για τους υπολογισμούς πιθανοτήτων, αυτό διατηρείται στο 5%.	Σύμφωνα με τα ισχύοντα κριτήρια και ορισμούς λήψης αποφάσεων:

"Αυτό το κριτήριο (alpha) είναι συνήθως 0.05 (a = 0. 05) και συγκρίνουμε το επίπεδο alpha με την τιμή p. Όταν η πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου Ι είναι μικρότερη από 5% (p <0.05), αποφασίζουμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. διαφορετικά, διατηρούμε την μηδενική υπόθεση. "

Ο τεχνικός όρος που χρησιμοποιείται για αυτή την πιθανότητα είναι

p-value

. Ορίζεται ως "η πιθανότητα λήψης αποτελέσματος δείγματος, δεδομένου ότι η τιμή που δηλώνεται στην μηδενική υπόθεση είναι αληθής. Η τιμή p για την απόκτηση ενός αποτελέσματος δείγματος συγκρίνεται με το επίπεδο σπουδαιότητας ".

• Ένα σφάλμα Τύπου II ή βήτα βήματος ορίζεται ως "η πιθανότητα να μη διατηρηθεί σωστά η μηδενική υπόθεση, όταν στην πραγματικότητα δεν ισχύει για ολόκληρο τον πληθυσμό. "
• Μερικά ακόμη παραδείγματα θα καταδείξουν αυτό και άλλους υπολογισμούς. Παράδειγμα 1. Υπάρχει ένα μηνιαίο επενδυτικό πρόγραμμα εισοδήματος που υπόσχεται μεταβλητές μηνιαίες αποδόσεις. Ένας επενδυτής θα επενδύσει σε αυτό μόνο εάν είναι εξασφαλισμένος με μέσο εισόδημα κατά μέσο όρο $ 180. Έχει δείγμα επιστροφών 300 μηνών που έχει μέσο όρο $ 190 και τυπική απόκλιση ύψους $ 75. Πρέπει να επενδύσει σε αυτό το πρόγραμμα; Ας ρυθμίσουμε το πρόβλημα. Ο επενδυτής θα επενδύσει στο σύστημα αν είναι σίγουρος για την επιθυμητή μέση απόδοση του $ 180. Εδώ,
• H

0

: Υποθετική περίπτωση: μέση = 180

H

1 _: Προσδιορίστε μια κρίσιμη τιμή X

L _{για τον μέσο δείγμα, ο οποίος είναι αρκετά μεγάλος για να απορρίψει την μηδενική υπόθεση - i. μι. (απόρριψη H} 0

δεδομένου ότι το Η 0

δεν είναι η τιμή n = είναι αληθινό) _{που θα επιτευχθεί όταν ο μέσος δείκτης υπερβαίνει τα κρίσιμα όρια i. μι.} = P (δεδομένου ότι το H ₀

είναι αληθές) = alpha _{Γραφικά} Λαμβάνοντας alpha = 0.05 (δηλ. 05 _{= 1. 645 (από τον πίνακα Z ή από τον κανονικό πίνακα διανομής)} => X

L

= 180 +1. Εφόσον ο μέσος δείκτης (190) είναι μεγαλύτερος από την κρίσιμη τιμή (187,12), η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και το συμπέρασμα είναι ότι η μέση μηνιαία απόδοση είναι πράγματι μεγαλύτερη από $ 180, οπότε ο επενδυτής μπορεί να εξετάσει το ενδεχόμενο να επενδύσει σε αυτό το πρόγραμμα. _{Μέθοδος 2 - Χρήση τυποποιημένων στατιστικών δοκιμών} :

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε την τυποποιημένη τιμή z.

Στατιστική δοκιμής, Z = (μέσος δείκτης - μέσος πληθυσμός) / (std-dev / sqrt (αριθμός δειγμάτων) δηλαδή _{75 / sqrt (300)) = 2. 309} Η περιοχή απόρριψης μας σε επίπεδο σημασίας 5% είναι Z> Z

0.05 _{= 1. 645}

Μέθοδος 3 - Υπολογισμός τιμής P:

Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε το P (μέσος όρος δείγματος> = 190, όταν μέσος όρος = 180) = P (Z> = (190-180) / (75 / sqrt (300))

= P (Z> = 2. 309) για να συναγάγουμε τους υπολογισμούς της τιμής p συμπεραίνει ότι υπάρχουν επιβεβαιωμένα αποδεικτικά στοιχεία ότι οι μέσες μηνιαίες αποδόσεις είναι υψηλότερες από 180.

P-value

Συμπεράσματα

λιγότερο από 1%

Επιβεβαιωμένα στοιχεία _{υποστηρίζοντας εναλλακτική υπόθεση} μεταξύ 1% και 5%

> μεταξύ 5% και 10%

Αδύνατες ενδείξεις

υποστηρίζοντας εναλλακτική υπόθεση

άνω του 10%

Δεν υπάρχουν αποδεικτικά στοιχεία

υποστηρίζοντας εναλλακτική υπόθεση

ότι τα ποσοστά μεσιτείας του είναι χαμηλότερα από αυτά του τρέχοντος μεσίτη μετοχών σας (ABC). Δεδομένα διαθέσιμα από μια ανεξάρτητη ερευνητική εταιρεία δείχνουν ότι η μέση και std-dev όλων των πελατών μεσιτών ABC είναι $ 18 και $ 6 αντίστοιχα.	Λαμβάνεται δείγμα 100 πελατών της ABC και τα τέλη μεσιτείας υπολογίζονται με τα νέα ποσοστά του μεσίτη XYZ. Αν το μέσο δείγμα είναι $ 18. 75 και std-dev είναι ίδια ($ 6), μπορεί κανείς να κάνει συμπεράσματα σχετικά με τη διαφορά του μέσου όρου μεσιτείας μεταξύ του ABC και του μεσίτη XYZ;
H	0 : Υπόθεση Null: μέσος όρος = 18
H	1 : Εναλλακτική Υπόθεση: μέσος όρος 18 (Αυτό θέλουμε να αποδείξουμε) Ζ <= - ζ
2. 5	και Z> = Z 2. 5
(υποθέτοντας το επίπεδο σημαντικότητας 5%, διαίρεση 2. 5 σε κάθε πλευρά)	Z = (μέσος όρος δείγματος - μέσος όρος) / (std-dev / sqrt (αριθμός δειγμάτων) (100)) = 1. 25 Αυτή η υπολογιζόμενη τιμή Z πέφτει μεταξύ των δύο ορίων που ορίζονται από το

- Z

2. 5

= -1 , 96 και Z _{2. 5} = 1. 96.

Αυτό καταλήγει στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συναχθεί ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ των επιτοκίων του υφιστάμενου και του νέου σας μεσίτη < Η τιμή p = P (Z1.25) _{= 2 * 0. 1056 = 0. 2112 = 21. 12% που είναι μεγαλύτερη από 0.05 ή 5%, οδηγώντας στο ίδιο συμπέρασμα. , αντιπροσωπεύεται από τα ακόλουθα:} Σημεία κριτικής για υποθετική μέθοδο ελέγχου:

- _{Στατιστική μέθοδος βασισμένη σε παραδοχές} - Σφάλμα επιρρεπές όπως αναφέρεται λεπτομερώς σε σφάλματα άλφα και βήτα _{της τιμής p μπορεί να είναι αμφίβολη, οδηγώντας σε συγκεχυμένα αποτελέσματα} Η κατώτατη γραμμή

Η δοκιμή υποθέσεων επιτρέπει σε ένα μαθηματικό μοντέλο να επικυρώσει μια αξίωση ή ιδέα με επίπεδο εμπιστοσύνης. Ωστόσο, όπως και η πλειονότητα των στατιστικών εργαλείων και μοντέλων, αυτό περιορίζεται και από κάποιους περιορισμούς. Η χρήση αυτού του μοντέλου για τη λήψη οικονομικών αποφάσεων πρέπει να εξετάζεται με κρισιμότητα, διατηρώντας κατά νου όλες τις εξάρσεις. Εναλλακτικές μέθοδοι όπως η Bayesian Inference αξίζει επίσης να εξεταστούν για παρόμοια ανάλυση.